Ułamki proste - wystarczy zakryć.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3014
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia

Ułamki proste - wystarczy zakryć.

Post autor: florek177 » 7 lut 2011, o 18:36

Inna metoda znajdowania ułamków prostych. Np. ułamek : \(\,\, \,\, \frac{4x - 5}{(x + 1 ) \, ( x - 2 )} = \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{ x - 2 } \,\,\,\) ; Poniższa metoda pozwoli na znajdowanie odpowiednich ułamków prostych przez wykonanie pewnych działań w pamięci. W przykładzie, należy znaleźć takie liczby A i B , dla których: \(\,\, \,\, \frac{4x - 5}{(x + 1 ) \, ( x - 2 )} \equiv \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{ x - 2 } \,\,\,\) ; Powyższa równoważność oznacza, że \(\,\, \,\, \frac{4x - 5}{ ( x - 2 )} \equiv A + \frac{B \, ( x + 1 )}{ x - 2 } \,\,\,\) - ( równoważność wyjściowa pomnożona przez \(\,\,\, ( x + 1 )) \,\,\) ; Podstawiając teraz za "x" dowolną liczbę, z wyjątkiem 2 ( w tym przypadku ), musimy otrzymać dokładnie takie same liczby po prawej i po lewej stronie. Wybieramy podstawienie \(\,\,\, x = -1 \,\,\) , i otrzymujemy: \(\,\,\, \frac{-9}{-3} = A \,\,\,\) czyli \(\,\,\, A = 3 \,\,\). Aby znaleźć wartość B, mnożymy wyjściową równoważność przez \(\,\,\, ( x - 2 ) \,\,\,\), a następnie podstawiamy \(\,\,\, x = 2 \,\,\,\). Otrzymujemy: \(\,\,\, B = \frac{8 - 5}{2 + 1} = 1\). Zasada jest następująca: zakryj w podanym ułamku nawias ( x - 2 ), a następnie w ułamku, który widać po tym zakryciu, za x podstaw 2 . W ten sposób otrzymujemy licznik ułamka prostego o mianowniku ( x - 2 ). Przykład: Ułamek \(\,\,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \,\,\,\) przedstaw w postaci ułamków prostych. Na początku piszemy: \(\,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \equiv \frac{}{x} + \frac{}{x + 2} + \frac{}{x - 3}\) Zakrywamy teraz czynnik x w mianowniku ułamka i do reszty podstawiamy ( x = 0 ). W wyniku otrzymujemy: \(\,\,\,\, \frac{-18}{2 \cdot (-3)} = 3 \,\,\,\). Liczbę 3 zapisujemy w liczniku nad x z prawej strony powyższej równoważności. Następnie zakrywamy czynnik ( x + 2 ) i podstawiamy ( x = -2 ) ; wynik: \(\,\,\,\frac{16 + 22 - 18}{( -2 ) \cdot ( -5 )} = \frac{20}{10} = 2 \,\,\,\) - jest drugim licznikiem, którego poszukiwaliśmy. Trzeci jest równy -1. Końcowy rozkład jest następujący: \(\,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \equiv \frac{3}{x} + \frac{2}{x + 2} + \frac{-1}{x - 3}\). Jeżeli chcemy sprawdzić, czy dobrze wykonaliśmy rozkład, za x podstawiamy jakąkolwiek liczbę, z wyjątkiem tych, które już wykorzystaliśmy, np. \(\,\,\, x = 2 \rightarrow 3 = 3\). PS. Metoda zaczerpnięta z podręcznika: " Matematyka w szkole średniej" T - 3, w przekładzie z jęz. angielskiego Wojciecha Jędrychowskiego. WSiP W-wa 1988.

sieniaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 15 kwie 2012, o 22:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów

Ułamki proste - wystarczy zakryć.

Post autor: sieniaf » 17 kwie 2012, o 00:50

Ta sama metoda jest również pokazana w I tomie zbioru maturalnego Andrzeja Kiełbasy w dziale z wielomianami. Jest tam też parę przykładów do jej przećwiczenia. Fajnie, że Ci się chce wstawiać takie rzeczy.

ZaKooN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 27 paź 2013, o 10:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Ułamki proste - wystarczy zakryć.

Post autor: ZaKooN » 6 lis 2013, o 09:38

Jak działa ta metoda na takim przykładzie? Bo chyba czegoś nie rozumiem.

b) \(\frac{x+9}{x(x+3)^2} = \frac{}{x} + \frac{}{(x+3)} + \frac{}{(x+3)^2}\)

nie wychodzi mi to zerowanie bo jak podstawiam x=-3 to oba ułamki mi się zerują

c) \(\frac{3x^2+4x+3}{x^3-x^2+4x-4}\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Ułamki proste - wystarczy zakryć.

Post autor: mariuszm » 21 sty 2015, o 18:46

W takich przypadkach możesz wstawić dowolną nieużywaną jeszcze wartość
Oczywiście dużo nie zyskasz w stosunku do metody z porównywaniem wielomianów w liczniku
w tym przypadku

Wyżej wspomniana metoda najlepiej sprawdza się w przypadku gdy pierwiastki mianownika
są rzeczywiste i różne

ODPOWIEDZ