Ułamki proste - wystarczy zakryć.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3015
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 322 razy

Ułamki proste - wystarczy zakryć.

Post autor: florek177 » 7 lut 2011, o 18:36

Inna metoda znajdowania ułamków prostych.

Np. ułamek : \(\displaystyle{ \,\, \,\, \frac{4x - 5}{(x + 1 ) \, ( x - 2 )} = \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{ x - 2 } \,\,\,}\) ;

Poniższa metoda pozwoli na znajdowanie odpowiednich ułamków prostych przez wykonanie pewnych działań w pamięci.

W przykładzie, należy znaleźć takie liczby A i B , dla których:

\(\displaystyle{ \,\, \,\, \frac{4x - 5}{(x + 1 ) \, ( x - 2 )} \equiv \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{ x - 2 } \,\,\,}\) ;

Powyższa równoważność oznacza, że \(\displaystyle{ \,\, \,\, \frac{4x - 5}{ ( x - 2 )} \equiv A + \frac{B \, ( x + 1 )}{ x - 2 } \,\,\,}\) - ( równoważność wyjściowa pomnożona przez \(\displaystyle{ \,\,\, ( x + 1 )) \,\,}\) ;

Podstawiając teraz za "x" dowolną liczbę, z wyjątkiem 2 ( w tym przypadku ), musimy otrzymać dokładnie takie same liczby po prawej i po lewej stronie.
Wybieramy podstawienie \(\displaystyle{ \,\,\, x = -1 \,\,}\) , i otrzymujemy: \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{-9}{-3} = A \,\,\,}\) czyli \(\displaystyle{ \,\,\, A = 3 \,\,}\).

Aby znaleźć wartość B, mnożymy wyjściową równoważność przez \(\displaystyle{ \,\,\, ( x - 2 ) \,\,\,}\), a następnie podstawiamy \(\displaystyle{ \,\,\, x = 2 \,\,\,}\).

Otrzymujemy: \(\displaystyle{ \,\,\, B = \frac{8 - 5}{2 + 1} = 1}\).

Zasada jest następująca: zakryj w podanym ułamku nawias ( x - 2 ), a następnie w ułamku, który widać po tym zakryciu, za x podstaw 2 . W ten sposób otrzymujemy licznik ułamka prostego o mianowniku ( x - 2 ).

Przykład:

Ułamek \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \,\,\,}\) przedstaw w postaci ułamków prostych.

Na początku piszemy:

\(\displaystyle{ \,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \equiv \frac{}{x} + \frac{}{x + 2} + \frac{}{x - 3}}\)

Zakrywamy teraz czynnik x w mianowniku ułamka i do reszty podstawiamy ( x = 0 ). W wyniku otrzymujemy: \(\displaystyle{ \,\,\,\, \frac{-18}{2 \cdot (-3)} = 3 \,\,\,}\).

Liczbę 3 zapisujemy w liczniku nad x z prawej strony powyższej równoważności.

Następnie zakrywamy czynnik ( x + 2 ) i podstawiamy ( x = -2 ) ; wynik: \(\displaystyle{ \,\,\,\frac{16 + 22 - 18}{( -2 ) \cdot ( -5 )} = \frac{20}{10} = 2 \,\,\,}\) - jest drugim licznikiem, którego poszukiwaliśmy.

Trzeci jest równy -1.

Końcowy rozkład jest następujący:

\(\displaystyle{ \,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \equiv \frac{3}{x} + \frac{2}{x + 2} + \frac{-1}{x - 3}}\).

Jeżeli chcemy sprawdzić, czy dobrze wykonaliśmy rozkład, za x podstawiamy jakąkolwiek liczbę, z wyjątkiem tych, które już wykorzystaliśmy, np. \(\displaystyle{ \,\,\, x = 2 \rightarrow 3 = 3}\).

PS.
Metoda zaczerpnięta z podręcznika: " Matematyka w szkole średniej" T - 3, w przekładzie z jęz. angielskiego Wojciecha Jędrychowskiego.
WSiP W-wa 1988.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

sieniaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 15 kwie 2012, o 22:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów
Pomógł: 15 razy

Ułamki proste - wystarczy zakryć.

Post autor: sieniaf » 17 kwie 2012, o 00:50

Ta sama metoda jest również pokazana w I tomie zbioru maturalnego Andrzeja Kiełbasy w dziale z wielomianami. Jest tam też parę przykładów do jej przećwiczenia. Fajnie, że Ci się chce wstawiać takie rzeczy.

ZaKooN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 27 paź 2013, o 10:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 24 razy

Ułamki proste - wystarczy zakryć.

Post autor: ZaKooN » 6 lis 2013, o 09:38

Jak działa ta metoda na takim przykładzie? Bo chyba czegoś nie rozumiem.

b) \(\displaystyle{ \frac{x+9}{x(x+3)^2} = \frac{}{x} + \frac{}{(x+3)} + \frac{}{(x+3)^2}}\)

nie wychodzi mi to zerowanie bo jak podstawiam x=-3 to oba ułamki mi się zerują

c) \(\displaystyle{ \frac{3x^2+4x+3}{x^3-x^2+4x-4}}\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6712
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1216 razy

Ułamki proste - wystarczy zakryć.

Post autor: mariuszm » 21 sty 2015, o 18:46

W takich przypadkach możesz wstawić dowolną nieużywaną jeszcze wartość
Oczywiście dużo nie zyskasz w stosunku do metody z porównywaniem wielomianów w liczniku
w tym przypadku

Wyżej wspomniana metoda najlepiej sprawdza się w przypadku gdy pierwiastki mianownika
są rzeczywiste i różne

daras170
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 685
Rejestracja: 24 mar 2014, o 19:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toronto
Pomógł: 73 razy

Re: Ułamki proste - wystarczy zakryć.

Post autor: daras170 » 26 lis 2019, o 17:32

ZaKooN pisze:
6 lis 2013, o 09:38
Jak działa ta metoda na takim przykładzie? Bo chyba czegoś nie rozumiem.

\(\displaystyle{ \frac{x+9}{x(x+3)^2} = \frac{}{x} + \frac{}{(x+3)} + \frac{}{(x+3)^2}}\)

nie wychodzi mi to zerowanie bo jak podstawiam x=-3 to oba ułamki mi się zerują
Mnożąc obie strony przez wspólny mianownik otrzymamy:

\(\displaystyle{ x+9 \equiv A(x+3)^2 + Bx(x+3) + Cx}\) (*)

teraz w miejsce \(\displaystyle{ x }\) podstawiamy kolejne pierwiastki mianownika:

\(\displaystyle{ x = -3 \Rightarrow 6 = -3C \Rightarrow C =-2\\
x = 0 \Rightarrow 9 = 9A \Rightarrow A = 1}\)


Aby obliczyć pozostały współczynnik B możemy porównać współczynniki przy \(\displaystyle{ x^2}\) po obu stronach tożsamości (*)
\(\displaystyle{ 0 = A + B \Rightarrow B = -A = -1}\)

czyli ostatecznie \(\displaystyle{ \frac{x+9}{x(x+3)^2} = \frac{1}{x} + \frac{-1}{(x+3)} + \frac{-2}{(x+3)^2}}\)

Ta metoda jest też zaprezentowana w Analizie matematycznej w zadaniach - W.Krysicki, L.Włodarski w części 2, ja zatrzymałem się na wyd.VI ale w późniejszych na pewno też ją można znaleźć.

ODPOWIEDZ