Nie wykonując działań oblicz resztę z dzielenia wielomianów

[DBoniem]

Nie wykonując działań obliczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomianu Q, jeżeli:
\(\displaystyle{ a)P(x)= x^{4} - 1 \ , \ Q(x)=x-2}\)

\(\displaystyle{ P(x)=Q(x)*S(x)+P(x)}\)

i jak dalej to rozpisać?

[sea_of_tears]

\(\displaystyle{ P(x)= x^{4} - 1 , Q(x)=x-2\newline
P(2)=2^4-1=16-1=15}\)

[DBoniem]

ok
a w takim przykładzie:

\(\displaystyle{ P(x)=x^{100}+4*x^{2}+1 \ , \ Q(x)=x^{2}-1}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=(x-1)(x+1)}\)

\(\displaystyle{ P(1)=P(-1)=1+4+1=6}\) ?

c)\(\displaystyle{ P(x)=x^{99}+5x , Q(x)=x^{2}-1}\)
tutaj Q(x) nie ma pierwiastka rzeczywistego, czy należy znaleźć zespolony?

[piasek101]

1) \(\displaystyle{ P(x)=W(x)\cdot Q(x)+R(x)}\) szukana \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)

do wykorzystania \(\displaystyle{ P(1)}\) oraz \(\displaystyle{ P(-1)}\)

c) nie wiem o czym piszesz - moze jakaś literówka Ci się trafiła.

[DBoniem]

\(\displaystyle{ P(x)=x^{99}+5x \ \ , \ \ Q(x)=x^{2}+1}\) tak miało to wyglądać.

[piasek101]

To można z zespolonymi.

[DBoniem]

czyli:

\(\displaystyle{ P(x)=x^{99}+5x \ \ , \ \ Q(x)=x^{2}+1}\)
\(\displaystyle{ Q(i)=Q(-i)=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} i^{99}+5i=ai+b \\ (-i)^{99}-5i=-ai+b \end{cases}}\)
?

[piasek101]

tak

[DBoniem]

czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -i+5i=ai+b \\ i-5i=ai+b \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4i=ai+b \\ -4i=-ai+b \end{cases}}\)
czyli porównując odpowiednie części rzeczywiste i urojone wychodzi, że:

a=4 b=0 więc wstawiając to do R(x)=ax+b wychodzi, że:
R(x)=4x

\(\displaystyle{ b)P(z)= z^{4} + 2^{4} \ \ , \ \ Q(z)=z+2i}\)

\(\displaystyle{ P(z)=Q(z)*S(z)+R(z)}\)
Q(z)=0 jakim sposobem innym niż przez zgadywanie można obliczyć dla jakich z Q(z)=0?