3 różne pierwiastki rzeczywiste.

night_owl · Post autor: **night_owl** » 28 sty 2011, o 17:52

Witam na forum .

Wielomiany to moja pięta achillesowa, zawsze miałem z nimi problemy, prosze o pomoc.

Dla jakich wartości parametru p wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} - 3px + 9p -27}\) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste?

TheBill · Post autor: **TheBill** » 28 sty 2011, o 17:56

Zauważ, że \(\displaystyle{ W(3)=0}\)

night_owl · Post autor: **night_owl** » 28 sty 2011, o 20:07

Ok, otrzymałeś to zapewne przez podstawianie możliwych pierwiastków całkowitych wielomianu.

Ale po podstawieniu w 3 w równaniu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 27 - 9p + 9p - 27 = 0}\), co daje \(\displaystyle{ 0=0}\), wiec p z tego nie obliczę.

Kombinowałem, również z wzorami Viete'a dla wielomianu stopnia 3, ale tu rodzi sie pytanie, czy moge je stosować, gdy w równaniu nie wystepuje wspólczynnik b?

Po stworzeniu układu równań wyprowadziłem równanie kwadratowe na kolejny pierwiastek wielomianu, lecz \(\displaystyle{ \Delta < 0}\)

TheBill · Post autor: **TheBill** » 28 sty 2011, o 20:20

Wzory Viete'a możesz stosować, ale w tym zadaniu Ci sie nie przydadzą.

Jeżeli \(\displaystyle{ W(3)=0}\), to liczba \(\displaystyle{ 3}\) jest pierwiastkiem wielomianu wiec z tw. Bezouta wiemy, że wielomian dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ x-3}\), zostanie Ci "funkcja kwadratowa".

night_owl · Post autor: **night_owl** » 28 sty 2011, o 20:53

Ok, wielkie dzięki. Następnym razem już zauważę takie rzeczy.

Ale jeszcze jedna rzecz mnie zastanawia. Czemu z wzorów Viete'a wychodziło równanie kwadratowe z \(\displaystyle{ \Delta < 0}\), czyli tak jakby nie było pierwiastków. Same wzory Viete'a dla równań stopnia trzeciego są dla mnie czymś nowym, wiec może coś zrobiłem nie tak (stworzyłem układ równan sumy i iloczynu). Czy mógłby ktoś to sprawdzić?

TheBill · Post autor: **TheBill** » 28 sty 2011, o 21:36

Ale co z tym układem równań chcesz zrobić? Co wyliczyć?

night_owl · Post autor: **night_owl** » 28 sty 2011, o 21:58

\(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} + x _{3} = \frac{-b}{a} \wedge x _{1}*x _{2}*x _{3}= \frac{-d}{a}

x _{1} + x _{2} + 3 = 0 \wedge 3x _{1}*x _{2}=-27

\Rightarrow x _{1} ^{2} + 3x _{1} + 9 = 0}\)

Za \(\displaystyle{ x _{3}}\) podstawiłem znany nam pierwiastek wielomianu. Czy źle rozumuje?

TheBill · Post autor: **TheBill** » 29 sty 2011, o 09:32

W Twoim wielomianie współczynnik \(\displaystyle{ d=9p-27}\).
To zły pomysł, bo Ty nie masz wyliczyć pozostałych pierwiastków, tylko parametr, dla którego wielomian będzie miał trzy różne pierwiastki.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} + x _{2} + 3 = 0 \\ 3x _{1} \cdot x _{2}=27-9p \\ x_1x_2+3x_1+3x_2 = -3p \end{cases}}\)

night_owl · Post autor: **night_owl** » 29 sty 2011, o 12:57

Dzięki TheBill, parametr wyliczyłem, tylko zastanawiałem się nad wzorami Viete'a z czystej ciekawości, dopiero ty mnie uświadomiłeś jaki jest parametr d.

Jeszcze raz wielkie dzięki.