Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{4}-(m-2)x ^{2}+m}\). Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m dla których ten wielomian ma dwa pierwiastki.
Mam książkę, mam odpowiedzi lecz kompletnie tego nie rozumiem.
Wg mnie wielomian ma dwa pierwiastki kiedy po podstawieniu z \(\displaystyle{ x^{2}=t}\)
to delta powinna być = 0 i mamy jeden pierwiastek.
Z delty wychodzi funkcja kwadratowa m, którą liczy się uwzględniając dwa pierwiastki i za \(\displaystyle{ t_{0}}\) podstawiamy wartość pierwszą lub drugą..
A rzuciłem okiem w odpowiedzi to wyszły dwa warunki
dla delty>0 \(\displaystyle{ t_{1}*t_{2}<0}\)- czyli znaki mają być różne
i delta=0 a \(\displaystyle{ t_{0}>0}\)
Nie rozumiem tych założeń.
Jeśli ktoś łopatologicznie by to wyjaśnił to byłbym w niebie : ).
Pozdrawiam i z góry ogromnie dziękuję
Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m
-
Glo
- Użytkownik
- Posty: 684
- Rejestracja: 6 lis 2009, o 21:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 101 razy
Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m
Bo patrz. Jak podstawiasz \(\displaystyle{ t=x^2}\), to musisz założyć, że \(\displaystyle{ t>0}\), bo kwadrat nie może być ujemny, prawda?
No więc, otrzymasz funkcję
\(\displaystyle{ W(t)= t^{2}-(m-2)t+m}\)
Wiesz, że jeżeli funkcja W(t) będzie miała dwa pierwiastki DODATNIE, to ywjściowa funkcja W(x) będzie miała ich 4 (bo \(\displaystyle{ x^2=t_1 \Rightarrow x_1=\sqrt{t_1} \vee x_2=-\sqrt{t_1}}\) i tak samo dwa pierwiastki dla \(\displaystyle{ x^2=t_2)}\).
Analogicznie, jeżeli funkcja W(t) będzie miała jeden pierwiastek DODATNI to funkcja W(x) będzie miała 2 pierwiastki.
Podkreślam słowo dodatni, gdyż Twpoje założenia sugerują, że jeżeli funkcja ma 1 pierwisatek (tj. \(\displaystyle{ \Delta_t=0}\)), niezależnie od tego czy ten pierwiastek będzie dodatni czy ujemny, to funkcja W(x) będzie miała dwa pierwiastki. Rozumiesz?:)
No więc jakie założenia trzeba poczynić. Aby W(x) miało 2 pierwiastki, W(t) musi mieć 1 pierwiastek dodatni. Dzieje się to wtedy, gdy:
I
W(t) ma dwa pierwiastki różnych znaków
(\(\displaystyle{ t_1*t_2<0}\), \(\displaystyle{ \Delta_t>0}\))
II
W(t) ma jeden pierwiastek większy od zera
(\(\displaystyle{ \Delta_t=0}\), \(\displaystyle{ t_0>0}\))
I to wyczerpuje możliwości. W razie niejasności pisz
No więc, otrzymasz funkcję
\(\displaystyle{ W(t)= t^{2}-(m-2)t+m}\)
Wiesz, że jeżeli funkcja W(t) będzie miała dwa pierwiastki DODATNIE, to ywjściowa funkcja W(x) będzie miała ich 4 (bo \(\displaystyle{ x^2=t_1 \Rightarrow x_1=\sqrt{t_1} \vee x_2=-\sqrt{t_1}}\) i tak samo dwa pierwiastki dla \(\displaystyle{ x^2=t_2)}\).
Analogicznie, jeżeli funkcja W(t) będzie miała jeden pierwiastek DODATNI to funkcja W(x) będzie miała 2 pierwiastki.
Podkreślam słowo dodatni, gdyż Twpoje założenia sugerują, że jeżeli funkcja ma 1 pierwisatek (tj. \(\displaystyle{ \Delta_t=0}\)), niezależnie od tego czy ten pierwiastek będzie dodatni czy ujemny, to funkcja W(x) będzie miała dwa pierwiastki. Rozumiesz?:)
No więc jakie założenia trzeba poczynić. Aby W(x) miało 2 pierwiastki, W(t) musi mieć 1 pierwiastek dodatni. Dzieje się to wtedy, gdy:
I
W(t) ma dwa pierwiastki różnych znaków
(\(\displaystyle{ t_1*t_2<0}\), \(\displaystyle{ \Delta_t>0}\))
II
W(t) ma jeden pierwiastek większy od zera
(\(\displaystyle{ \Delta_t=0}\), \(\displaystyle{ t_0>0}\))
I to wyczerpuje możliwości. W razie niejasności pisz
Ostatnio zmieniony 26 sty 2011, o 13:32 przez Glo, łącznie zmieniany 4 razy.
-
irena_1
- Użytkownik
- Posty: 496
- Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 122 razy
Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m
Po podstawieniu \(\displaystyle{ x^2=t}\) otrzymujesz równanie kwadratowe z parametrem.
Jeśli równanie wyjściowe ma mieć 2 pierwiastki, to:
1) albo delta jest równa zero (równanie kwadratowe ze zmienną t ma dokładnie jedno rozwiązanie), a ponieważ \(\displaystyle{ x^2=t}\), więc t musi być dodatnie i wtedy:
\(\displaystyle{ x_1=\sqrt{t}\ \vee\ x_2=-\sqrt{t}}\)
2) albo delta jest dodatnia, ale tylko jeden pierwiastek równania ze zmienną t ma być dodatni. Drugi musi być ujemny.
Gdyby oba pierwiastki równania ze zmienną t były ujemne, to wyjściowe równanie nie miałoby rozwiązań (bo \(\displaystyle{ t=x^2}\)).
Gdyby oba pierwiastki równania ze zmienną t były dodatnie, to wyjściowe równanie miałoby 4 pierwiastki, a nie 2.
Jeśli równanie wyjściowe ma mieć 2 pierwiastki, to:
1) albo delta jest równa zero (równanie kwadratowe ze zmienną t ma dokładnie jedno rozwiązanie), a ponieważ \(\displaystyle{ x^2=t}\), więc t musi być dodatnie i wtedy:
\(\displaystyle{ x_1=\sqrt{t}\ \vee\ x_2=-\sqrt{t}}\)
2) albo delta jest dodatnia, ale tylko jeden pierwiastek równania ze zmienną t ma być dodatni. Drugi musi być ujemny.
Gdyby oba pierwiastki równania ze zmienną t były ujemne, to wyjściowe równanie nie miałoby rozwiązań (bo \(\displaystyle{ t=x^2}\)).
Gdyby oba pierwiastki równania ze zmienną t były dodatnie, to wyjściowe równanie miałoby 4 pierwiastki, a nie 2.
-
rudald
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 26 gru 2010, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 4 razy
Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m
Glo,
Wybacz, że tak długo - rozjaśnię sobie do końca przy warunku
\(\displaystyle{ t_{1}*t_{2}<0}\) rozpatrujemy tylko ten, który jest dodatni czyli np. t1=3 czyli x1=3 i x2=-3
a t2=-1 to go w ogóle nie rozpatrujemy ?
Może jestem tłukiem nie wiem nie ogarniam
\(\displaystyle{ W(x)= x^{4}-(m-2)x^{2}+m}\)
\(\displaystyle{ t=x^{2}}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-(m-2)t+m}\)
(nie widzę znaczku delty w tagach)
Warunki
\(\displaystyle{ delta t=0 t_{0}>0}\)
\(\displaystyle{ delta=-(m-2)^{2}-4m=m^{2}-8m+4}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{delta}=\sqrt{48}}\)
\(\displaystyle{ m_{1}=4+2\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ m_{2}=4-2\sqrt{3}}\)
(to z samej ciekawości \(\displaystyle{ t_{0}=-b/2a=\sqrt{3}}\) czyli \(\displaystyle{ x_{1}=\sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=-\sqrt{3}}\)
koniunkcja drugich warunków
\(\displaystyle{ t_{1}*t_{2}<0}\) i \(\displaystyle{ delta t>0}\)
przyrównuję do większej od 0 i wychodzi mi to samo co wcześniej. Da się innym sposobem niż ze wzorów Vieta ?
Wybacz, że tak długo - rozjaśnię sobie do końca przy warunku
\(\displaystyle{ t_{1}*t_{2}<0}\) rozpatrujemy tylko ten, który jest dodatni czyli np. t1=3 czyli x1=3 i x2=-3
a t2=-1 to go w ogóle nie rozpatrujemy ?
Może jestem tłukiem nie wiem nie ogarniam
\(\displaystyle{ W(x)= x^{4}-(m-2)x^{2}+m}\)
\(\displaystyle{ t=x^{2}}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-(m-2)t+m}\)
(nie widzę znaczku delty w tagach)
Warunki
\(\displaystyle{ delta t=0 t_{0}>0}\)
\(\displaystyle{ delta=-(m-2)^{2}-4m=m^{2}-8m+4}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{delta}=\sqrt{48}}\)
\(\displaystyle{ m_{1}=4+2\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ m_{2}=4-2\sqrt{3}}\)
(to z samej ciekawości \(\displaystyle{ t_{0}=-b/2a=\sqrt{3}}\) czyli \(\displaystyle{ x_{1}=\sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=-\sqrt{3}}\)
koniunkcja drugich warunków
\(\displaystyle{ t_{1}*t_{2}<0}\) i \(\displaystyle{ delta t>0}\)
przyrównuję do większej od 0 i wychodzi mi to samo co wcześniej. Da się innym sposobem niż ze wzorów Vieta ?
-
Glo
- Użytkownik
- Posty: 684
- Rejestracja: 6 lis 2009, o 21:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 101 razy
Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m
Nie. Wiesz, że \(\displaystyle{ t=x^2}\), a więc jeżeli \(\displaystyle{ t_0=\sqrt3 \Rightarrow x^2=\sqrt3 \Rightarrow x=\sqrt{\sqrt3} \vee x=-\sqrt{\sqrt3}}\)(to z samej ciekawości \(\displaystyle{ t_{0}=\frac{-b}{2a}=\sqrt{3}}\) czyli \(\displaystyle{ x_{1}=\sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=-\sqrt{3}}\)
Czyli pierwiastki czwartego stopnia.
Piszesz bardzo niejasno. Deltę uzyskasz poprzesz komendę \Delta, wszystko jest w kursie Latex'a na stronie forum - czytanie nie boli.
Jeżeli masz warunki typu:
\(\displaystyle{ \Delta=0 \wedge t_0>0}\), to nie wiem w czym masz problem. Liczysz deltę, co, jak wiedzę, potrafisz, i sprawdzasz dla jakiej wartości jest równa zeru (najprawdopodobniej będzie do rozwiązanie równanie kwadratowe). Drugi warunek obliczasz z wzorów na pierwiastek równania kwadratowego, który też znasz, podstawiasz potrzebne wartości z równania i rozwiązujesz nierówność. Tak jak piszesz, rozwiązaniem będzie koniunkcja rozwiązań obu warunków.
Mniej więcejrozjaśnię sobie do końca przy warunku
\(\displaystyle{ t_{1}*t_{2}<0}\) rozpatrujemy tylko ten, który jest dodatni czyli np. \(\displaystyle{ t1=3}\) czyli \(\displaystyle{ x1=3}\)i \(\displaystyle{ x2=-3}\)
Z wzory Viete'a pozwalają określić kiedy mamy pierwiastki różnych znaków, tj. dokładnie jeden jest dodatni. Nie potrzebujemy wiedzieć, jaki to pierwiastek, chodzi tylko o to, by wiedzieć, kiedy mamy do czynienia z pierwiastkiem dodatnim, bo wtedy jeden pierwiastek dodatni dla funkcji f(t) zaowocuje dwoma pierwiastkami (tu już nas zupełnie nie obchodzi jakie te pierwiastkibędą) dla funkcji f(x). Po rozwiązaniu warunków I i II, znalezieniu koniunkcji warunków I i koniunkcji warunków II, sumujemy ze sobą otrzymane przedziały (te koniunkcje) i to już jest gotowa odpowiedź do zadania.
-
rudald
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 26 gru 2010, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 4 razy
Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m
Glo
ok dotarłem do martwego punktu..
Koniunkcje I warunku rozwiązałem - \(\displaystyle{ \Delta_{t}=0}\) i \(\displaystyle{ t_{0}>0}\)
Natomiast z tym drugim mam problem
\(\displaystyle{ t_{1}=\frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}}\)
po podstawieniu
\(\displaystyle{ t_{1}=\frac{m-2 - \sqrt{m^{2}-8m+4}}{2}}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=\frac{m-2 + \sqrt{m^{2}-8m+4}}{2}}\)
co mam z tym zrobić?
Może po proszę o rozwiązanie, bo już tylko nerwy tracę na tej zabawie.
Dziękuję za pomoc
ok dotarłem do martwego punktu..
Koniunkcje I warunku rozwiązałem - \(\displaystyle{ \Delta_{t}=0}\) i \(\displaystyle{ t_{0}>0}\)
Natomiast z tym drugim mam problem
\(\displaystyle{ t_{1}=\frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}}\)
po podstawieniu
\(\displaystyle{ t_{1}=\frac{m-2 - \sqrt{m^{2}-8m+4}}{2}}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=\frac{m-2 + \sqrt{m^{2}-8m+4}}{2}}\)
co mam z tym zrobić?
Może po proszę o rozwiązanie, bo już tylko nerwy tracę na tej zabawie.
Dziękuję za pomoc
-
Glo
- Użytkownik
- Posty: 684
- Rejestracja: 6 lis 2009, o 21:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 101 razy
Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m
Powiedz mi, czemu tak się uparłeś na liczenie tych pierwiastków?
Warunki brzmią:
\(\displaystyle{ t_1*t_2<0}\), \(\displaystyle{ \Delta_t>0}\)
Pierwszy warunek:
\(\displaystyle{ t_1*t_2=\frac{c}{a}=\frac{m}{1}=m \Rightarrow t_1*t_2<0 \Leftrightarrow m<0}\)
Drugi warunek:
\(\displaystyle{ \Delta>0 \Rightarrow \Delta=b^2-4ac=m^2-4m+4-4m=m^2-8m+4\Rightarrow \Delta>0 \Leftrightarrow m \in (-\infty;4-2\sqrt3) \cup (4+2\sqrt3; +\infty)}\)
Koniunkcja warunków i rozwiązania dla przypadku gotowe. Drugi, jak mówisz, już masz. No to na tyle :]
Edit-------
Właśnie przyszło mi do głowy, że prawdopodobnie liczysz te pierwiastki żeby obliczyć t1*t2. Spieszę z wyjaśnieniem, że żeby policzyć takie 'cóś' wcale nie musimy obliczać pierwiastków. Korzystamy z wzorów Vieta'e, na pewno masz w podręczników. Wzory te mówią, że:
\(\displaystyle{ x_1*x_2-\frac{c}{a}}\)
oraz
\(\displaystyle{ x_1+x_2=\frac{-b}{a}}\)
gdzie x1,x2 są pierwiastkami równania kwadratowego a a,b,c są współczynnikami.
Warunki brzmią:
\(\displaystyle{ t_1*t_2<0}\), \(\displaystyle{ \Delta_t>0}\)
Pierwszy warunek:
\(\displaystyle{ t_1*t_2=\frac{c}{a}=\frac{m}{1}=m \Rightarrow t_1*t_2<0 \Leftrightarrow m<0}\)
Drugi warunek:
\(\displaystyle{ \Delta>0 \Rightarrow \Delta=b^2-4ac=m^2-4m+4-4m=m^2-8m+4\Rightarrow \Delta>0 \Leftrightarrow m \in (-\infty;4-2\sqrt3) \cup (4+2\sqrt3; +\infty)}\)
Koniunkcja warunków i rozwiązania dla przypadku gotowe. Drugi, jak mówisz, już masz. No to na tyle :]
Edit-------
Właśnie przyszło mi do głowy, że prawdopodobnie liczysz te pierwiastki żeby obliczyć t1*t2. Spieszę z wyjaśnieniem, że żeby policzyć takie 'cóś' wcale nie musimy obliczać pierwiastków. Korzystamy z wzorów Vieta'e, na pewno masz w podręczników. Wzory te mówią, że:
\(\displaystyle{ x_1*x_2-\frac{c}{a}}\)
oraz
\(\displaystyle{ x_1+x_2=\frac{-b}{a}}\)
gdzie x1,x2 są pierwiastkami równania kwadratowego a a,b,c są współczynnikami.