Dany jest wielomian...
-
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 7 gru 2006, o 23:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 32 razy
Dany jest wielomian...
Dany jest wielomian W(x)=x�+px�+q . Dla jakich p i q wielomian W(x+1) jest funkcją nieparzystą? Znajdź pierwiastki wielomianu W dla obliczonych wartości p i q.
- d(-_-)b
- Użytkownik
- Posty: 210
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock
- Pomógł: 98 razy
Dany jest wielomian...
Aby wielomian \(\displaystyle{ W(x+1)}\) był funkcją nieparzystą musi zachodzić
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in D_f} ft[-x\in D_f W(-x+1)=-W(x+1)\right]}\)
zatem
\(\displaystyle{ W(-x+1)=(-x+1)^{3}+p(-x+1)^2+q}\)
\(\displaystyle{ W(-x+1)=-x^{3}+3x^{2}-3x+1+px^{2}+2px+p+q}\)
\(\displaystyle{ W(-x+1)=-x^{3}+(3+p)x^{2}+(-3-2p)x+p+q+1}\)
natomiast
\(\displaystyle{ -W(x+1)=-\left[x^{3}+3x^2+3x+1+px^{2}+2px+p+q\right]}\)
\(\displaystyle{ -W(x+1)=-\left[x^{3}+(3+p)x^2+(3+2p)x+p+q+1\right]}\)
\(\displaystyle{ -W(x+1)=-x^{3}+(-3-p)x^2+(-3-2p)x-p-q-1}\)
teraz porównujemy te dwa wielomiany, czyli
\(\displaystyle{ -x^{3}+(3+p)x^{2}+(-3-2p)x+p+q+1=-x^{3}+(-3-p)x^2+(-3-2p)x-p-q-1}\)
Aby te wielomiany były równe muszą zachodzić równości
1) \(\displaystyle{ 3+p=-3-p}\), skąd \(\displaystyle{ p=-3}\)
2) \(\displaystyle{ -3-2p=-3-2p}\)
3) \(\displaystyle{ p+q+1=-p-q-1}\)
po uwzględnieniu 1) w 3) mamy
\(\displaystyle{ -3+q+1=3-q-1}\), skąd \(\displaystyle{ q=2}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-3x^{2}+2}\)
musimy obliczyć miejsca zerowe tego wielomianu, czyli
\(\displaystyle{ x^{3}-3x^{2}+2=0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-x^{2}-2x^{2}+2=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x-1)-2(x^{2}-1)=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x-1)-2(x+1)(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x-1)-(2x+2)(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-2x-2)(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1+\sqrt{3})(x-1-\sqrt{3})(x-1)=0}\)
ostatecznie
\(\displaystyle{ x=1-\sqrt{3}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x=1+\sqrt{3}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in D_f} ft[-x\in D_f W(-x+1)=-W(x+1)\right]}\)
zatem
\(\displaystyle{ W(-x+1)=(-x+1)^{3}+p(-x+1)^2+q}\)
\(\displaystyle{ W(-x+1)=-x^{3}+3x^{2}-3x+1+px^{2}+2px+p+q}\)
\(\displaystyle{ W(-x+1)=-x^{3}+(3+p)x^{2}+(-3-2p)x+p+q+1}\)
natomiast
\(\displaystyle{ -W(x+1)=-\left[x^{3}+3x^2+3x+1+px^{2}+2px+p+q\right]}\)
\(\displaystyle{ -W(x+1)=-\left[x^{3}+(3+p)x^2+(3+2p)x+p+q+1\right]}\)
\(\displaystyle{ -W(x+1)=-x^{3}+(-3-p)x^2+(-3-2p)x-p-q-1}\)
teraz porównujemy te dwa wielomiany, czyli
\(\displaystyle{ -x^{3}+(3+p)x^{2}+(-3-2p)x+p+q+1=-x^{3}+(-3-p)x^2+(-3-2p)x-p-q-1}\)
Aby te wielomiany były równe muszą zachodzić równości
1) \(\displaystyle{ 3+p=-3-p}\), skąd \(\displaystyle{ p=-3}\)
2) \(\displaystyle{ -3-2p=-3-2p}\)
3) \(\displaystyle{ p+q+1=-p-q-1}\)
po uwzględnieniu 1) w 3) mamy
\(\displaystyle{ -3+q+1=3-q-1}\), skąd \(\displaystyle{ q=2}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-3x^{2}+2}\)
musimy obliczyć miejsca zerowe tego wielomianu, czyli
\(\displaystyle{ x^{3}-3x^{2}+2=0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-x^{2}-2x^{2}+2=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x-1)-2(x^{2}-1)=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x-1)-2(x+1)(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x-1)-(2x+2)(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-2x-2)(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1+\sqrt{3})(x-1-\sqrt{3})(x-1)=0}\)
ostatecznie
\(\displaystyle{ x=1-\sqrt{3}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x=1+\sqrt{3}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x=1}\)
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Dany jest wielomian...
Powinno byćd(-_-)b pisze:Aby wielomian \(\displaystyle{ W(x+1)}\) był funkcją nieparzystą musi zachodzić
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in D_f} ft[-x\in D_f W(-x+1)=-W(x+1)\right]}\)
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in D_f} ft[-x\in D_f W(-x-1)=-W(x+1)\right]}\)
Funkja nieparzysta ma pierwiastki "symetryczne" ,a poza tym dla funkcji nieparzystej, jeżeli \(\displaystyle{ 0\in D_f}\) to \(\displaystyle{ f(0)=0}\)\(\displaystyle{ x=1-\sqrt{3}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x=1+\sqrt{3}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x=1}\)