Co można powiedzieć o stopniu sumy wielomianów.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
adamosokolos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 23 sty 2011, o 13:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy

Co można powiedzieć o stopniu sumy wielomianów.

Post autor: adamosokolos »

Witam.
Mam problem z zadaniem, a mianowicie : Co można powiedzieć o stopniu sumy wielomianów P i Q , jeśli:
a) st(P)=5 , st(Q)=4
b) st(P)=5 , st(Q)=5
c) st(P)=m , st(Q)=n

Prosiłbym wraz z jakimiś udowodnieniami dlaczego tak a nie inaczej.
Z góry dzięki za pomoc.
Pozdrawiam
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Co można powiedzieć o stopniu sumy wielomianów.

Post autor: miki999 »

No pomyśl. Masz jeden wielomian danego stopnia i drugi innego stopnia. Dodajesz je. Co otrzymujesz?
adamosokolos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 23 sty 2011, o 13:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy

Co można powiedzieć o stopniu sumy wielomianów.

Post autor: adamosokolos »

W przykładzie a) będzie ten wyższy czyli 5, ale w b i c nie mam pojęcia( mam odpowiedzi ale nie wiem dlaczego tak jest):(
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Co można powiedzieć o stopniu sumy wielomianów.

Post autor: miki999 »

W przykładzie a) będzie ten wyższy czyli 5
Zgadza się.

Co do b) i c) należy rozpatrzeć specyficzne przypadki. Np. w b) \(\displaystyle{ P=-Q}\) (albo pewna część współczynników przy odpowiednich potęgach jest taka sama tylko z innym znakiem).
W c) uogólnienie 2 poprzednich przypadków. Zapewne \(\displaystyle{ m>n}\) (albo \(\displaystyle{ m<n}\))- mamy jedną możliwość analogiczną do przykładu a) albo \(\displaystyle{ m=n}\) i mamy analogię do przykładu b).
adamosokolos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 23 sty 2011, o 13:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy

Co można powiedzieć o stopniu sumy wielomianów.

Post autor: adamosokolos »

miki999 - mógłbyś pomóc w przykładzie c, jakąś go rozpisać czy coś? Z góry dzięki.
B już zrobiłem
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Co można powiedzieć o stopniu sumy wielomianów.

Post autor: miki999 »

Albo \(\displaystyle{ m>n}\), albo \(\displaystyle{ m<n}\) (bez znaczenia).
Załóżmy 1. opcję:
\(\displaystyle{ Q(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_0\\ P(x)=b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{n+1}x^{n+1}+b_{n}x_n +...+ b_0}\).

\(\displaystyle{ P}\) ma większy stopień niż \(\displaystyle{ Q}\), więc nie da się wyzerować współczynnika przy \(\displaystyle{ x^m}\). Analogicznie dla przypadku \(\displaystyle{ n>m}\).
Oznaczając \(\displaystyle{ \max(m,n)}\) jako liczbę większą spośród \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\). Stopień wielomianu wynosi \(\displaystyle{ \max(m,n)}\).

Dla \(\displaystyle{ m=n}\), może zajść przypadek, że \(\displaystyle{ P=-Q}\) (lub część współczynników jest taka sama, ale o przeciwnym znaku), wtedy stopień ma się tak jak w przypadku b).



Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ