funkcje wielomianowe

[Grazyna 310]

Dane są funkcje \(\displaystyle{ f(x)=x+ \frac{1}{x}, g(x)=x^3+ \frac{1}{x^3}}\). Dowiedź jeżeli dla pewnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ b}\) wartość \(\displaystyle{ f(b)}\) jest liczbą całkowitą, to \(\displaystyle{ g(b)}\) jest liczbą calkowitą i parzystą.

[kuch2r]

Zalozmy, ze:
\(\displaystyle{ \exists b\in\mathbb{R}: f(b)=b+\frac{1}{b}, f(b)\in\matbb{Z}}\)
Niech:
\(\displaystyle{ g(b)=b^3+\frac{1}{b^3}=(b+\frac{1}{b})^3-3(b+\frac{1}{b})=(f(b))^3-3f(b)}\)
Zatem \(\displaystyle{ g(b)\in\mathbb{Z}}\)
Pozostaje udowodnic ze \(\displaystyle{ g(b)}\) jest parzysta.
\(\displaystyle{ g(b)=f(b)\cdot((f(b))^2-3)}\)
Jezeli \(\displaystyle{ f(b)}\) jest nieparzysta to \(\displaystyle{ (f(b))^2-3)}\) jest parzysta. Zatem \(\displaystyle{ g(b)}\) jest parzysta
Jezeli \(\displaystyle{ f(b)}\) jest parzysta to \(\displaystyle{ (f(b))^2-3)}\). Zatem \(\displaystyle{ g(b)}\) jest parzysta.

[przemk20]

\(\displaystyle{ Mozna\ by\ troche\ inaczej,\\
g(b)=b^{3}+(\frac{1}{b})^{3}=(b+\frac{1}{b})(b^{2}+1+\frac{1}{b^{2}}) = (b+\frac{1}{b})((b+\frac{1}{b})^{2}-1),\ b\neq 0\\
g(b)=(b+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{b})(b+1+\frac{1}{b}) ,\\
Widac\ ze\ jest\ to\ iloczyn\ 3\ kolejnych\ liczb\ calkowitych,\ bo\\ f(b)=(b+\frac{1}{b})\
jest\ calkowite,\ zatem\ g(b)\ jest\ parzyste,\ a\ nawet\ podzielne\ przez\ 6.}\)