Znaleźć resztę, nie wykonując dzielenia

[Jogurto]

\(\displaystyle{ x^{8} + 3x^{5} + x^{2} +4}\) przez \(\displaystyle{ x^{2} - 1}\)

oraz
\(\displaystyle{ x^{2007} + 3x + 2008}\) przez \(\displaystyle{ x^{2} + 1}\)

Nie mam pojęcia jak to zrobić, wiem, że coś z zerującymi elementami

[anna_]

\(\displaystyle{ W(x)=x^{8} + 3x^{5} + x^{2} +4}\)
\(\displaystyle{ W(x)=P(x)(x^2-1)+R(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)
\(\displaystyle{ W(x)=P(x)(x^2-1)+(ax+b)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=a+b \\ W(-1)=-a+b \end{cases}}\)

[Jogurto]

Dlaczego \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)?

W drugim trzeba chyba podstawić i, bo jest to coś z liczbami zespolonymi

[anna_]

Jeżeli \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ P(x)}\) są wielomianami oraz \(\displaystyle{ P(x) \neq 0}\), to istnieją takie dwa wielomiany \(\displaystyle{ Q(x)}\) i \(\displaystyle{ R(x)}\), że
\(\displaystyle{ W(x) = Q(x) \cdot P(x) + R(x)}\),

przy czym albo wielomiam \(\displaystyle{ R(x) = 0}\)albo stopień wielomianu \(\displaystyle{ R(x)}\) jest mniejszy od stopnia wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\). Wielomian \(\displaystyle{ R(x)}\) nazywamy resztą z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\).

W drugim trzeba chyba podstawić i, bo jest to coś z liczbami zespolonymi

No to może:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(i)=ai+b \\ W(-i)=-ai+b \end{cases}}\)
Wyjdzie co trzeba, ale co do poprawności zapisu pewna nie jestem

[Jogurto]

Dziękuję, myślę, że mniej więcej rozumiem. Ale jak zrobić drugi przykład?

\(\displaystyle{ R(i)=i+3i+2008}\)?


Wychodzi, że \(\displaystyle{ R=(4i)x+2008}\)?
Mam nadzieję, że tak ;D

[anna_]

\(\displaystyle{ W(i)=i^{2007} + 3i + 2008=2008+2i}\)
\(\displaystyle{ W(-i)=(-i)^{2007} + 3(-i) + 2008=2008-2i}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2008+2i=ai+b \\ 2008-2i=-ai+b \end{cases}}\)

dodajemy stronami
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2008=2b}\)
\(\displaystyle{ b=2008}\)

\(\displaystyle{ 2008+2i=ai+2008}\)
\(\displaystyle{ a=2}\)

\(\displaystyle{ R(x)=2x+2008}\)