Wielomian \(\displaystyle{ W_{(x)}=x^{2010}-1}\) jest podzielny przez wielomian:
A) \(\displaystyle{ x-1}\)
B) \(\displaystyle{ x+1}\)
C) \(\displaystyle{ x^2-1}\)
D) \(\displaystyle{ x}\)
Doszedłem do tego, że prawidłowymi odpowiedziami są A i B, natomiast D jest niepoprawna.
Jednak w odpowiedziach za poprawną uznali jeszcze C. Jak do tego dojść?
Jeśli jest równocześnie podzielny przez \(\displaystyle{ x+1}\) oraz przez \(\displaystyle{ x-1}\) to przez ich iloczyn \(\displaystyle{ (x+1)(x-1)=x^2-1}\) też będzie
No tak jest jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) dzieli się przez dwumiany \(\displaystyle{ x-1}\) i \(\displaystyle{ x+1}\) to oznacza, że liczby \(\displaystyle{ 1,-1}\) są pierwiastkami wielomianu a więc na mocy zasadniczego twierdzenia algebry \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)^k \cdot (x-1)^l \cdot S(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ k,l \ge 1}\) a \(\displaystyle{ S(x)}\) jest wielomianiem, stąd już wynika, że \(\displaystyle{ W(x)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x^2 -1}\)
