Uzasadnij, że dla każdej liczby(wielomian)

[naznaczony]

Zmagam się z zadaniem drugi dzień -.-

"Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej\(\displaystyle{ n}\) liczba postaci \(\displaystyle{ 3n^3+15n^2+12}\) jest podzielna przez 6 "
Więc tak,
liczba jest podzielna przez 6 \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) gdy jest podzielna przez 3 i 2.
Najpierw coś takiego próbowałem zrobić.
\(\displaystyle{ W(x)=3n^3+15n^2+12=3n(x^2+5n+4)}\)
I tu widzę, że 3n jest zawsze podzielne przez 3, a nawias przez 2.
nie wiem jak to "udowodnić"
I jeszcze tak coś próbowałem.

Przedstawiłem wielomian w postaci iloczynowej
\(\displaystyle{ n^2+5n+4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25-16}\)
\(\displaystyle{ \Delta=9}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=3}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{-5-3}{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = -4}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{-5+3}{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{2} =-1}\)
\(\displaystyle{ W(x)=3n(n+4)(n+1)}\)
Ale z tego nic nie wynika(jak dla mnie)

Zastanawiam się nad podzieleniem \(\displaystyle{ 3n^3+15n^2+12}\) przez odpowiednio\(\displaystyle{ x+2}\) i\(\displaystyle{ x+3}\)

Zadanie robię z ciekawości bo w technikum nie mam, aż tak dużo matmy :F

[akw]

\(\displaystyle{ 3n^3+15n^2+12=3n(n^2+5n+4)}\)
Jakim cudem?

[naznaczony]

Mój błąd przepraszam, źle przepisałem
\(\displaystyle{ W(x)=3n^3+15n^2+12n}\)

[Vax]

\(\displaystyle{ W(x) = 3n(n+1)(n+4)}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ n=2k}\) to \(\displaystyle{ n+4}\) dzieli się przez 2, a jeżeli \(\displaystyle{ n=2k+1}\) to \(\displaystyle{ n+1}\) dzieli się przez 2.

Pozdrawiam.

[akw]

W takim razie dowód przeprowadziłeś poprawnie. Na końcu potrzebne jest jeszcze uzasadnienie.
Wyrażenie:
\(\displaystyle{ 3n(n+4)(n+1)}\)
jest podzielne przez 3 jak już zauważyłeś i przez 2 ponieważ \(\displaystyle{ n(n+1)}\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych więc jedna z nich napewno jest liczbą parzystą.