Jeszcze jedno zadanie z wielomianów

[rainbowxxl]

Wykaż, że prosta o równaniu \(\displaystyle{ y=2x-m}\) ma dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ m}\) diokładnie dwa punkty wpsólne z hiperbolą \(\displaystyle{ y=\frac{3}{x}}\).

[yorgin]

Prosta ta przecina hiperbolę w dwóch punktach gdy rozwiązaniem poniższego równiania są 2 liczby i istnieją zawsze 2 rozwiązania: (dzidziną obu funkcji jest \(\displaystyle{ R\setminus\{0\})}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}y=2x-m\\y=\frac{3}{x}\end{array}}\)
\(\displaystyle{ 2x-m=\frac{3}{x}\\
2x^2-xm=3\\
2x^2-mx-3=0\\
\Delta=m^2+24>0\quad \Longrightarrow \forall_{m R}}
\quad \exists_{x_1,x_2\in R\setminus\{0\}}:2x_1^2-mx_1-3=0 \; 2x_2^2-mx_2-3=0}\)
czego należało dowieść