Znajdź takie n dla których W(n) będzie liczbą pierwszą

[Pingwin94]

Wyznaczyć takie \(\displaystyle{ n \in N}\) dla których \(\displaystyle{ W:N \to N}\) określony wzorem

\(\displaystyle{ W(n) = n^{8}+n^{6}+n^{4}+n^{2}+1}\)

przyjmuje wartości będące liczbami pierwszymi.

Z góry dziękuję za pomoc

[rodzyn7773]

\(\displaystyle{ (n^2)^5-1=(n^2-1)(( n^2)^{4}+(n^2)^{3}+(n^2)^{2}+n^{2}+1)}\)
Z tego mamy dla \(\displaystyle{ n \neq 1}\):
\(\displaystyle{ n^{8}+n^{6}+n^{4}+n^{2}+1= \frac{(n^5)^2-1}{n^2-1} = \frac{(n^5-1)(n^5+1)}{(n-1)(n+1)} = // =(n^4+n^3+n^2+n+1)(n^4-n^3 +n^2-n+1 )}\)

Zapisaliśmy wyrażenie jako iloczyn dwóch liczb naturalnych. Aby taki iloczyn był liczbą pierwszą to jedna z tych liczb musi być równa 1 a druga musi być liczbą pierwszą. Wyrażenie \(\displaystyle{ n^4+n^3+n^2+n+1}\) jest równe 1 dla n=0. Wtedy \(\displaystyle{ W(0)=1}\) ale 1 nie jest liczbą pierwszą. Drugie wyrażenie jest równe 1 kiedy n=0 lub n=1 na razie zostawiamy 1 bo wykluczyliśmy ją w trakcie przekształcania. Mamy: \(\displaystyle{ W(0)=1}\) - to nie jest liczba pierwsza.
Pozostaje sprawdzić czy \(\displaystyle{ W(1)}\) jest liczbą pierwszą, ale W(1)=5 zatem dla n=1 wartość wyrażenia jest liczbą pierwszą.