wielomiany- dzielenie z reszta

[Talka17]

1. wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} -3 x^{2} +ax+b}\) w wyniku dzielenia przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\) daje resztę 12, a przez dwumian \(\displaystyle{ (x+1)}\) daje resztę 30. Wyznacz współczynniki a i b tego wielomianu.

2. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)= 2x^{4} + x^{3} - 8x^{2} -x+6}\)
a)oblicz reszte z dzielenia tego wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ (x+3)}\)b)sprawdź, czy liczba -2 jest pierwiastkiem tego wielomianu
c)znajdź pierwiastki wielomianu.

3. Dla jakich wartości a i b wielomian \(\displaystyle{ W(x)= 5x^{3}+2ax ^{2} -3bx-7}\) jest podzielnu przez dwumian \(\displaystyle{ P(x)=x ^{2}-1}\)?

4. Dla jakich wartości parametru k funkcja wielomianowa \(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(x-3)(x-k+4)}\) ma dokładnie dwa rózne miejsca zerowe?

Mogłby mi ktos to zrobic bo mysmy takich zadan przez 3 lata liceum nie mieli a teraz baba kazała nam zrobic chociaz tegonikt nie czai!! a w szczególności ja...

[ivanoo]

Próbowałaś coś z tym zrobić w ogóle?
Znasz dzielenie za pomocą tabelki Hornera?

[Talka17]

próbowałam, w podręczniku mamy jakiś skomplikowany zapis ale nie wiadomo co z czego w ogole jest... A tej tabelki nie miałam...

[rtuszyns]

Bardzo przydatne jest tutaj Tw. Bezout'a. Wszystkie przytoczone zadania bez problemu i to szybko da sie przy pomocy tego twierdzenia rozwiązać...

[Talka17]

eee.. że jakie twierdzenie??:)

[ivanoo]

Co do zadania pierwszego
Albo tabelka Hornera albo
\(\displaystyle{ W(1)=12}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=30}\)

[rtuszyns]

Ad.1)
\(\displaystyle{ \begin{cases}W(1)=12 \\
W(-1)=30 \end{cases}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=14 \\
a-b=-34\end{cases}}\)

Ad.2)

a) \(\displaystyle{ W(-3)=72}\)
b) \(\displaystyle{ W(-2)=0}\) tak jest
c) \(\displaystyle{ x_1=\frac{3}{2}}\), \(\displaystyle{ x_2=1}\), \(\displaystyle{ x_3=-2}\), \(\displaystyle{ x_4=1}\)

Ad.3)

\(\displaystyle{ P(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=0 \\
W(-1)=0 \end{cases}}\)

i dalej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a+3b=12 \\
2a-3b=2 \end{cases}}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ \begin{cases}a=\frac{7}{2} \\
b=\frac{5}{3} \end{cases}}\)