Problem z rozwiązaniem układu równań

[Leouch]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}-xy+y^{2}=21\\y^{2}-2xy+15=0\end{cases}}\)
niestety próbowałem na wiele sposobów ale nie potrafię tego rozwiązać, mógł by mnie ktoś naprowadzić ? ew jak komuś się chce to tu krok po kroku napisać jak to zrobił

edit:
z rysunku odczytałem ze x=4 y=5 v x=-4 y=-5 ale nie wiem jak do tego dojść w obliczeniach

[rtuszyns]

Naprowadzam: odejmij równania stronami

[Crizz]

Inny pomysł: sprawdź najpierw, czy może być takie rozwiązanie, w którym \(\displaystyle{ x=0}\).

Następnie w drugim równaniu wyraz wolny na prawą stronę i podstaw \(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}}\) (czyli \(\displaystyle{ y=tx}\)). Wyciągnij \(\displaystyle{ x^{2}}\) przed nawias i podziel stronami.

Oblicz \(\displaystyle{ t}\) i masz nową, bardzo przydatną zależność \(\displaystyle{ \frac{y}{x}=t}\).

[Leouch]

Naprowadzam: odejmij równania stronami

odejmowałem stronami po przekształceniach i bez i jaks ie dali i zapędzałem sie tylko w bagno

doszedłem do czegoś takiego

\(\displaystyle{ x^{4} +87x^{2}+1296=0}\)

niestety delta z tego to ( po podstawieniu \(\displaystyle{ x^{2}=t}\) oczywiście )

\(\displaystyle{ \sqrt{2385}}\)

czyli nie jest to liczba calkowita

[Crizz]

Ehhh... dlaczego nikt mi nie ufa?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}-xy+y^{2}=21\\y^{2}-2xy+15=0\end{cases}}\)

Podstawiamy\(\displaystyle{ x=0}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2=21 \\ y^2=-15 \end{cases}}\)

Wyszłą bzdura, układ nie ma zatem takiego rozwiązania, w którym \(\displaystyle{ x=0}\), więc możemy podstawić \(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}-tx^{2}+t^{2}x^2=21\\t^{2}x^2-2tx^2=-15\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}(1-t+t^{2})=21 \\ x^2(t^{2}-2t)=-15\end{cases}}\)

Dzielimy stronami:

\(\displaystyle{ \frac{1-t+t^{2}}{t^{2}-2t}=-\frac{7}{5}}\)
\(\displaystyle{ 12t^2-19t+5=0}\)
\(\displaystyle{ t_1=\frac{5}{4}}\)
\(\displaystyle{ t_2=\frac{1}{3}}\)

Mamy zatem dwa przypadki: \(\displaystyle{ \frac{y}{x}=\frac{5}{4}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{y}{x}=\frac{1}{3}}\).

Drugi przypadek: \(\displaystyle{ 3y=x}\); korzystamy z tej zależności w pierwszym z wyjściowych równań:
\(\displaystyle{ 9y^{2}-3y^{2}+y^{2}=21}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{3},x=3\sqrt{3}}\) lub \(\displaystyle{ y=-\sqrt{3},x=-3\sqrt{3}}\)
Możesz sprawdzić, że te dwie pary liczb też są rozwiązaniami.

Pierwszy przypadek: domyślasz się już pewnie, że otrzymamy Twoje wyniki.

[Leouch]

czyli mamy 4 pary rozwiązań?

[Crizz]

Na to wygląda.