wielomian o wspol calkowitych

[tomeczekwz]

wielomian W(x) o wspolczynnikach calkowitych spelnia warunek:
W(13)*W(14)=15
wykaz ze wielomian ten nie posiada pierwiastkow calkowitych

[Tomasz Rużycki]

Sprobujmy niewprost.

Zalozmy, ze istnieje \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\) takie, ze \(\displaystyle{ W(x) = (x-k)Q(x)}\).

\(\displaystyle{ Q(x)}\) jest oczywiscie wielomianem o wspolczynnikach calkowitych.

Wtedy:

\(\displaystyle{ W(13) = (13-k)Q(13)}\),
\(\displaystyle{ W(14) = (14-k)Q(14)}\), czyli

\(\displaystyle{ W(13)W(14) = 15 = (13-k)(14-k)Q(13)Q(14)}\), chyba tutaj jest juz sprzeczosc - spojrz na rozklad na czynniki pierwsze pietnastki.

[tomeczekwz]

hmm moglbys troche jasniej? rozumiem ze mam sprawdzic czy jest to podzielne przez 3 i przez 5 ale niezbyt wiem jak...

edit: ahh rozumiem chodzi ci o to ze liczby 13-k i 14-k moga nalezec do zbioru {-15,-5,-3,-1,1,3,5,15} i stad mamy iz takie k nie istnieje

[Tomasz Rużycki]

Zauwaz, ze czynniki \(\displaystyle{ 13-k}\) oraz \(\displaystyle{ 14-k}\) roznia sie o \(\displaystyle{ 1}\).