Witam!
Otóż od dłuższego czasu próbuję "zakapować" metodę Ferrariego, ale ciągle zatrzymuję się w jednym i tym samym momencie. Mianowicie czytając Kompendium dochodzę do momentu wprowadzenia dodatkowej zmiennej i nie rozumiem dalszego wyprowadzenia wzoru. Mianowicie skąd u licha bierze się tam \(\displaystyle{ +y \left( x^2+ \frac{a_{3}}{2a_{4}}x \right)+ \frac{y^2}{4}}\) ??? Czy mógłby ktoś wyprowadzić ten wzór "etapowo" (komentarz mile widziany)??
Z góry dziękuję za odpowiedzi.
Jak rozwiązywać równania stopnia 4. metodą Ferrari?
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Jak rozwiązywać równania stopnia 4. metodą Ferrari?
Pokażę może na przykładzie:
Mamy takie równanie:
\(\displaystyle{ 2x^4-11x^3+4x^2+23x-10=0}\)
Na prawą stronę przerzucamy teraz wszystkie składniki, oprócz tych, przy których mamy \(\displaystyle{ x^3}\) oraz \(\displaystyle{ x^4}\)
\(\displaystyle{ 2x^4-11x^3=-4x^2-23x+10}\)
Teraz będziemy chcieli zawinąć lewą stronę w kwadrat sumy/różnicy. Zanim dodamy odpowiedni współczynnik \(\displaystyle{ x^2}\) zauważmy, że jak będziemy zawijać w wzór skróconego mnożenia, to 1 składnik będzie taki: \(\displaystyle{ (\sqrt{2}x^2\pm...)^2}\), jednak my próbujemy tak to zawinąć, aby żadnych pierwiastków nie mieć. Zauważmy, że jeżeli podzielilibyśmy obie strony przez 2, to mielibyśmy \(\displaystyle{ x^4}\) więc ładnie by się mogło zawinąć, jednak przy innych współczynnikach powstałyby ułamki, a to trochę spowolniłoby obliczenia. Możemy więc obie strony pomnożyć przez 2:
\(\displaystyle{ 4x^4-22x^3=-8x^2-46x+20}\)
Teraz musimy znaleźć odpowiednią wartość \(\displaystyle{ x^2}\), którą należy dodać, aby móc zawinąć lewą stronę. Zauważmy, że mamy \(\displaystyle{ (2x^2-c)^2 = 4x^4-22x^3+c^2}\), czyli \(\displaystyle{ 4cx^2 = 22x^3 \Rightarrow c = \frac{11}{2}x}\) czyli do obu stron musimy dodać \(\displaystyle{ \frac{121}{4}x^2}\) Po dodaniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 4x^4-22x^3+\frac{121}{4}x^2 = \frac{89}{4}x^2-46x+20}\)
Teraz zawijamy lewą stronę:
\(\displaystyle{ (2x-\frac{11}{2}x)^2 = \frac{89}{4}x^2-46x+20}\)
Dążymy do tego, aby również prawą stronę zwinąć do kwadratu. Zauważmy, że po prawej stronie mamy trójmian kwadratowy. Aby móc go zawinąć w kwadrat sumy/różnicy, \(\displaystyle{ \Delta = 0}\), jednak zauważ, że jak obliczymy samą deltę, to nic nam to nie da, musimy w tej sytuacji wprowadzić nową niewiadomą, np. y, wtedy wszystko się od niej uzależni, dodajmy do kwadratu lewej strony \(\displaystyle{ \frac{y}{2}}\). Zauważmy, że jak mamy:
\(\displaystyle{ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2}\)
To jak dodamy jakąś nową niewiadomą, np. c, to otrzymamy:
\(\displaystyle{ (a-b+c)^2 = a^2-2ab+b^2+2ac-2bc+c^2}\)
Tak więc widzimy, że skoro lewa strona powiększyła się o \(\displaystyle{ 2ac-2bc+c^2}\) to prawa również musi - w naszym przypadku \(\displaystyle{ c=\frac{y}{2}}\)
\(\displaystyle{ (2x^2-\frac{11}{2}x+\frac{y}{2})^2 = \frac{89}{4}x^2 - 46x+20 + 2x^2y-\frac{11}{2}xy+\frac{y^2}{4}}\)
Wyciągnijmy teraz po prawej stronie \(\displaystyle{ x^2}\) oraz \(\displaystyle{ x}\) przed nawias, aby otrzymać trójmian kwadratowy:
\(\displaystyle{ (2x^2-\frac{11}{2}x+\frac{y}{2})^2 = (2y+\frac{89}{4})x^2-(\frac{11}{2}y+46)x+\frac{y^2}{4}+20}\)
Jak wcześniej zauważyliśmy, aby prawą stronę dało się zawinąć, \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) tak więc \(\displaystyle{ b^2 = 4ac}\) czyli mamy:
\(\displaystyle{ (\frac{11}{2}y+46)^2 = 4(\frac{y^2}{4}+20)(2y+\frac{89}{4})}\)
\(\displaystyle{ (\frac{11}{2}y+46)^2 = (y^2+80)(2y+\frac{89}{4})}\)
\(\displaystyle{ \frac{121}{4}x^2+506y+2116 = 2y^3+\frac{89}{4}y^2+160y+1780}\)
\(\displaystyle{ 2y^3-8y^2-346y-336=0/:2}\)
\(\displaystyle{ y^3-4y^2-173y-168=0}\)
Tutaj albo szukamy wymiernych pierwiastków w dzielnikach ostatniego wyrazu, albo rozkładamy ten wielomian wzorami Cardano, w naszym przypadku akurat szybko można zauważyć, że pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ y=-1}\), teraz podstawiamy to do wcześniejszego równania:
\(\displaystyle{ (2x^2-\frac{11}{2}x+\frac{y}{2})^2 = (2y+\frac{89}{4})x^2-(\frac{11}{2}y+46)x+\frac{y^2}{4}+20}\)
\(\displaystyle{ (2x^2-\frac{11}{2}x-\frac{1}{2})^2 = \frac{81}{4}x^2-\frac{81}{2}x+\frac{81}{4}}\)
Czyli otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (2x^2-\frac{11}{2}x-\frac{1}{2})^2 = (\frac{9}{2}x-\frac{9}{2})^2}\)
\(\displaystyle{ (2x^2-\frac{11}{2}x-\frac{1}{2})^2 - (\frac{9}{2}x-\frac{9}{2})^2 = 0}\)
Korzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (2x^2-x-5)(2x^2-10x+4)=0/:2}\)
\(\displaystyle{ (2x^2-x-5)(x^2-5x+2)=0}\)
A stąd już łatwo - iloczyn 2 liczb jest równy 0, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0, więc:
\(\displaystyle{ 2x^2-x-5 = 0 \vee x^2-5x+2=0}\)
\(\displaystyle{ x\in \left\lbrace \frac{1-\sqrt{41}}{4} ; \frac{5-\sqrt{17}}{2} ; \frac{5+\sqrt{17}}{2} ; \frac{1+\sqrt{41}}{4}\right\rbrace}\)
Na tym to polega, mam nadzieję, że już wiadomo, co się z czego bierze
Pozdrawiam.
Mamy takie równanie:
\(\displaystyle{ 2x^4-11x^3+4x^2+23x-10=0}\)
Na prawą stronę przerzucamy teraz wszystkie składniki, oprócz tych, przy których mamy \(\displaystyle{ x^3}\) oraz \(\displaystyle{ x^4}\)
\(\displaystyle{ 2x^4-11x^3=-4x^2-23x+10}\)
Teraz będziemy chcieli zawinąć lewą stronę w kwadrat sumy/różnicy. Zanim dodamy odpowiedni współczynnik \(\displaystyle{ x^2}\) zauważmy, że jak będziemy zawijać w wzór skróconego mnożenia, to 1 składnik będzie taki: \(\displaystyle{ (\sqrt{2}x^2\pm...)^2}\), jednak my próbujemy tak to zawinąć, aby żadnych pierwiastków nie mieć. Zauważmy, że jeżeli podzielilibyśmy obie strony przez 2, to mielibyśmy \(\displaystyle{ x^4}\) więc ładnie by się mogło zawinąć, jednak przy innych współczynnikach powstałyby ułamki, a to trochę spowolniłoby obliczenia. Możemy więc obie strony pomnożyć przez 2:
\(\displaystyle{ 4x^4-22x^3=-8x^2-46x+20}\)
Teraz musimy znaleźć odpowiednią wartość \(\displaystyle{ x^2}\), którą należy dodać, aby móc zawinąć lewą stronę. Zauważmy, że mamy \(\displaystyle{ (2x^2-c)^2 = 4x^4-22x^3+c^2}\), czyli \(\displaystyle{ 4cx^2 = 22x^3 \Rightarrow c = \frac{11}{2}x}\) czyli do obu stron musimy dodać \(\displaystyle{ \frac{121}{4}x^2}\) Po dodaniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 4x^4-22x^3+\frac{121}{4}x^2 = \frac{89}{4}x^2-46x+20}\)
Teraz zawijamy lewą stronę:
\(\displaystyle{ (2x-\frac{11}{2}x)^2 = \frac{89}{4}x^2-46x+20}\)
Dążymy do tego, aby również prawą stronę zwinąć do kwadratu. Zauważmy, że po prawej stronie mamy trójmian kwadratowy. Aby móc go zawinąć w kwadrat sumy/różnicy, \(\displaystyle{ \Delta = 0}\), jednak zauważ, że jak obliczymy samą deltę, to nic nam to nie da, musimy w tej sytuacji wprowadzić nową niewiadomą, np. y, wtedy wszystko się od niej uzależni, dodajmy do kwadratu lewej strony \(\displaystyle{ \frac{y}{2}}\). Zauważmy, że jak mamy:
\(\displaystyle{ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2}\)
To jak dodamy jakąś nową niewiadomą, np. c, to otrzymamy:
\(\displaystyle{ (a-b+c)^2 = a^2-2ab+b^2+2ac-2bc+c^2}\)
Tak więc widzimy, że skoro lewa strona powiększyła się o \(\displaystyle{ 2ac-2bc+c^2}\) to prawa również musi - w naszym przypadku \(\displaystyle{ c=\frac{y}{2}}\)
\(\displaystyle{ (2x^2-\frac{11}{2}x+\frac{y}{2})^2 = \frac{89}{4}x^2 - 46x+20 + 2x^2y-\frac{11}{2}xy+\frac{y^2}{4}}\)
Wyciągnijmy teraz po prawej stronie \(\displaystyle{ x^2}\) oraz \(\displaystyle{ x}\) przed nawias, aby otrzymać trójmian kwadratowy:
\(\displaystyle{ (2x^2-\frac{11}{2}x+\frac{y}{2})^2 = (2y+\frac{89}{4})x^2-(\frac{11}{2}y+46)x+\frac{y^2}{4}+20}\)
Jak wcześniej zauważyliśmy, aby prawą stronę dało się zawinąć, \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) tak więc \(\displaystyle{ b^2 = 4ac}\) czyli mamy:
\(\displaystyle{ (\frac{11}{2}y+46)^2 = 4(\frac{y^2}{4}+20)(2y+\frac{89}{4})}\)
\(\displaystyle{ (\frac{11}{2}y+46)^2 = (y^2+80)(2y+\frac{89}{4})}\)
\(\displaystyle{ \frac{121}{4}x^2+506y+2116 = 2y^3+\frac{89}{4}y^2+160y+1780}\)
\(\displaystyle{ 2y^3-8y^2-346y-336=0/:2}\)
\(\displaystyle{ y^3-4y^2-173y-168=0}\)
Tutaj albo szukamy wymiernych pierwiastków w dzielnikach ostatniego wyrazu, albo rozkładamy ten wielomian wzorami Cardano, w naszym przypadku akurat szybko można zauważyć, że pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ y=-1}\), teraz podstawiamy to do wcześniejszego równania:
\(\displaystyle{ (2x^2-\frac{11}{2}x+\frac{y}{2})^2 = (2y+\frac{89}{4})x^2-(\frac{11}{2}y+46)x+\frac{y^2}{4}+20}\)
\(\displaystyle{ (2x^2-\frac{11}{2}x-\frac{1}{2})^2 = \frac{81}{4}x^2-\frac{81}{2}x+\frac{81}{4}}\)
Czyli otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (2x^2-\frac{11}{2}x-\frac{1}{2})^2 = (\frac{9}{2}x-\frac{9}{2})^2}\)
\(\displaystyle{ (2x^2-\frac{11}{2}x-\frac{1}{2})^2 - (\frac{9}{2}x-\frac{9}{2})^2 = 0}\)
Korzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (2x^2-x-5)(2x^2-10x+4)=0/:2}\)
\(\displaystyle{ (2x^2-x-5)(x^2-5x+2)=0}\)
A stąd już łatwo - iloczyn 2 liczb jest równy 0, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0, więc:
\(\displaystyle{ 2x^2-x-5 = 0 \vee x^2-5x+2=0}\)
\(\displaystyle{ x\in \left\lbrace \frac{1-\sqrt{41}}{4} ; \frac{5-\sqrt{17}}{2} ; \frac{5+\sqrt{17}}{2} ; \frac{1+\sqrt{41}}{4}\right\rbrace}\)
Na tym to polega, mam nadzieję, że już wiadomo, co się z czego bierze
Pozdrawiam.