Znaleźć a i b, dla których 1 jest co najmniej podwójnym pier

[margor]

Wyznaczyć wartości a i b, dla których liczba 1 jest co najmniej podwójnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=3x^4-6x^3+ax^2+4x+b}\).

Na początek próbuje zapisać coś takiego:
Podwójny pierwiastek \(\displaystyle{ (x-1)^2P(x)}\)

Na końcu można porównać współczynniki. Zastanawiam się teraz w jaki sposób zapisać wielomian P(x).

\(\displaystyle{ P(x)=3x^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ (x^2+2x+1)(3x^2+bx+c)}\)

Ale to nie wychodzi. Będę wdzieczny za podpowiedź.

Pozdrawiam,

[anna_]

\(\displaystyle{ P(x)=3x^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ (x^2+2x+1)(3x^2+bx+c)}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^2=x^2-2x+1}\)

[margor]

Po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymałem (liczyłem dwa razy):
\(\displaystyle{ W(x)=3x^4+x^3(a-6)+x^2(b-2a+3)+x(a-2b)+b}\)

Porównując to z oryginalnym równaniem ułożyłem układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-6=-6 \\ b-2a+3=a \\ a-2b=4 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=0 \\ b=-3 \\ 6=4 \end{cases}}\)
Sprzeczność jak nic, czyli wciąż jest jakaś usterka.

Prawidłowe odpowiedzi to b=-3 i a = 0.

[anna_]

Te niby prawidłowe raczej prawidłowe nie będą, bo \(\displaystyle{ W(1)=a+b+1=0}\), czyli \(\displaystyle{ a+b=-1}\)

\(\displaystyle{ P(x)=3x^2+cx+d}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-2x+1)(3x^2+cx+d)=3x^4 + x^3(c - 6) - x^2(2c - d - 3) + x(c - 2d) + d}\)

I teraz uklad

[margor]

Dzięki.