3 trudnawe zadania z wielomianów

goldenka · Post autor: **goldenka** » 27 lis 2006, o 14:38

Cześć,
Mam trzy zadania z wielomianów mam nadzieję, że mi pomożecie:)
Zad 1.
Ile rozwiązań rzeczywistych posiada równanie \(\displaystyle{ x^{4}-7x^{2}-6x+26=0}\)?
Zad 2
Ile jest równy iloczyn pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ p(x)=18x^{4}-117x^{3}+52x^{2}+13x-6}\)?
Zad 3.
Ile wynosi suma wszystkich pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=120x^{3}+286x^{2}+227x+60}\)?

baksio · Post autor: **baksio** » 27 lis 2006, o 15:03

Zad.3
Wzór Viete'a dla równań 3 stopnia:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3} = \frac{-b}{a}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3} = \frac{-286}{120}}\)

goldenka · Post autor: **goldenka** » 27 lis 2006, o 15:07

a no tak czyli drugie zadanie też proste:) Pomoże ktoś z pierwszym?

spajder · Post autor: **spajder** » 27 lis 2006, o 15:31

\(\displaystyle{ x^4-7x^2-6x+26=(x^4-8x^2+16)+(x^2-6x+9)+1=(x^2-4)^2+(x-3)^2+1}\)

i chyba teraz widać

goldenka · Post autor: **goldenka** » 27 lis 2006, o 15:34

co widać?:) Przecież, to wyrażenie nie ma postaci iloczynu to jak szukać pierwiastków? Nie rozumiem:(

spajder · Post autor: **spajder** » 27 lis 2006, o 15:44

a jak masz liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b}\) to kiedy wyrażenie \(\displaystyle{ a^2+b^2+1}\) będzie równe \(\displaystyle{ 0}\) ?

Vixy · Post autor: **Vixy** » 27 lis 2006, o 15:45

a nie lepiej obliczyc te pierwiastki wielomianu ze wzoru hornera ?

goldenka · Post autor: **goldenka** » 27 lis 2006, o 15:48

Nie mam pojęcia!
Smerfetka: Schemat hornera tu nie pomoże, bo ten wielomian nie ma pierwiastków wymiernych.

spajder · Post autor: **spajder** » 27 lis 2006, o 15:50

to zapoznaj się z tym: kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny. Tak więc:

\(\displaystyle{ a^2+b^2+1\geq 0+0+1\geq 1>0}\)

czyli takie wyrażenie nigdy nie jest równe \(\displaystyle{ 0}\)

podstaw sobie teraz \(\displaystyle{ a=x^2-4,b=x-3}\) i dostaniesz swój wielomian