\(\displaystyle{ W(x)=x^6+x^3+1}\)
probowalem tak przeksztalcic \(\displaystyle{ \ldots=\left(x^3+\frac12\right)^2+\frac34}\) ale jak widac jest to suma kwadratow a nie roznica, a przeciez kazdy wielomian da sie rozlozyc na iloczyn wielomianow co najwyzej 2 stopnia, ktos ma pomysl? dzieki za pomoc
rozklad wielomianu na czynniki
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
rozklad wielomianu na czynniki
\(\displaystyle{ x^6+x^3+1=\frac{x^9-1}{x^3-1}}\)
Pierwiastki licznika to pierwiastki dziewiątego stopnia z jedynki, a mianownika - trzeciego stopnia z jedynki. Tak więc pierwiastkami wyjściowego wielomianu są pierwiastki pierwotne dziewiątego stopnia z jedynki (czyli te pierwiastki, które nie są pierwiastkami stopnia niższego).
Sześć pierwiastków można dobrać w pary pierwiastków sprzężonych.
Jeśli więc \(\displaystyle{ \varepsilon_k=\cos \frac{2\pi k}{9}+i\sin\frac{2\pi k}{9}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,4}\), to mamy:
\(\displaystyle{ x^6+x^3+1=(x-\varepsilon_1 )(x-\overline{\varepsilon_1})\cdot
(x-\varepsilon_2 )(x-\overline{\varepsilon_2})\cdot
(x-\varepsilon_4 )(x-\overline{\varepsilon_4})}\)
Korzystając teraz ze wzoru \(\displaystyle{ (x-z)(x-\overline{z})= x^2-2Re(z)+|z|^2}\) łatwo każdy z trzech członów zapisać jako wielomian rzeczywisty stopnia dwa.
Q.
Pierwiastki licznika to pierwiastki dziewiątego stopnia z jedynki, a mianownika - trzeciego stopnia z jedynki. Tak więc pierwiastkami wyjściowego wielomianu są pierwiastki pierwotne dziewiątego stopnia z jedynki (czyli te pierwiastki, które nie są pierwiastkami stopnia niższego).
Sześć pierwiastków można dobrać w pary pierwiastków sprzężonych.
Jeśli więc \(\displaystyle{ \varepsilon_k=\cos \frac{2\pi k}{9}+i\sin\frac{2\pi k}{9}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,4}\), to mamy:
\(\displaystyle{ x^6+x^3+1=(x-\varepsilon_1 )(x-\overline{\varepsilon_1})\cdot
(x-\varepsilon_2 )(x-\overline{\varepsilon_2})\cdot
(x-\varepsilon_4 )(x-\overline{\varepsilon_4})}\)
Korzystając teraz ze wzoru \(\displaystyle{ (x-z)(x-\overline{z})= x^2-2Re(z)+|z|^2}\) łatwo każdy z trzech członów zapisać jako wielomian rzeczywisty stopnia dwa.
Q.