Wyznacz parametry m

kal0 · Post autor: **kal0** » 5 gru 2010, o 10:54

Jeżeli było już te zadanie, to przepraszam.

Zad.1 Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie \(\displaystyle{ (x^{2} - x - 2)(x^{2} + (m-3)x + 1) = 0}\) ma cztery różne pierwiastki.

Nie wiem, czy mam zliczyć to równanie, czy nie .. i co dalej robić ..?

miki999 · Post autor: **miki999** » 5 gru 2010, o 10:57

Sprawdź czy 1. nawias ma 2 pierwiastki. Jeżeli ma, to sprawdź dla jakich \(\displaystyle{ m}\) drugi nawias ma 2 pierwiastki.

Pozdrawiam.

kal0 · Post autor: **kal0** » 5 gru 2010, o 11:04

Sprawdziłem .. i wychodzi z pierwszego nawiasu \(\displaystyle{ (x-2)(x+1)}\), a gdy
wyliczam m, z drugiego, to wychodzi \(\displaystyle{ m=5 \vee m=1}\). A z tego co napisane jest w zadaniu, to ma być 4 różne pierwiastki, a mi wychodzi 3 różne. \(\displaystyle{ x=-1 \vee x=2 \vee x= 1}\) .-- 5 grudnia 2010, 12:13 --REF

miki999 · Post autor: **miki999** » 5 gru 2010, o 12:43

Sprawdziłem .. i wychodzi z pierwszego nawiasu \(\displaystyle{ (x-2)(x+1)}\), a gdy

Good.

wyliczam m, z drugiego, to wychodzi \(\displaystyle{ m=5 \vee m=1}\).

A jak je wyliczasz?

kal0 · Post autor: **kal0** » 5 gru 2010, o 12:52

Jak je wyliczam:

z delty:
\(\displaystyle{ x^{2} + (m-3)x+1 = 0}\)
\(\displaystyle{ delta = (m-3)^{2} - 4}\)
\(\displaystyle{ delta= m^{2}-6m+5}\)
\(\displaystyle{ delta _{m} = 36 - 20}\)
\(\displaystyle{ delta _{m} = 16}\)
\(\displaystyle{ m_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ m_{2}=5}\)

I gdy podstawię to do głównego równania, to wychodzą 3 pierwiastki (łącznie), a gdzie czwarty ? ;/

miki999 · Post autor: **miki999** » 5 gru 2010, o 13:15

No bo wyliczając \(\displaystyle{ m}\) wyliczasz kiedy \(\displaystyle{ \Delta}\) jest równe \(\displaystyle{ 0}\). A gdy \(\displaystyle{ \Delta =0}\) to ile masz pierwiastków z tego równania?

kal0 · Post autor: **kal0** » 5 gru 2010, o 13:25

No jedno rozwiązanie . Czyli \(\displaystyle{ \Delta > 0}\)

Czyli ma być takie coś:
\(\displaystyle{ x^{2} + (m-3)x +1 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = m^{2}- 6m + 5}\)
\(\displaystyle{ m^{2}- 6m + 5 > 0}\)

Takie coś ma wyjść ?

miki999 · Post autor: **miki999** » 5 gru 2010, o 13:28

To jest jeden z warunków. Jeszcze muszą być wszystkie 4 różne pierwiastki.

kal0 · Post autor: **kal0** » 5 gru 2010, o 13:36

Czyli jaki warunek jeszcze muszę dać .. ?
Powracając do początku:
Najpierw sprawdzam pierwszy nawias, jakie są tam pierwiastki. Wychodzi \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -1}\).
Teraz zajmuje się drugim nawiasem. Wyliczam deltę :

\(\displaystyle{ x^{2} + (m-3)x +1 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = m^{2}- 6m + 5}\)
\(\displaystyle{ m^{2}- 6m + 5 > 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_{m} = 16}\)
\(\displaystyle{ m_{1}=5}\)
\(\displaystyle{ m_{2}=1}\)

Z tej nierówności wychodzi rozwiązanie: \(\displaystyle{ m \in (- \infty ; 1) \cup (5 ; + \infty ).}\)
I co teraz ?

miki999 · Post autor: **miki999** » 5 gru 2010, o 13:42

No teraz musisz wykluczyć trochę \(\displaystyle{ m}\). Wartość pierwiastka nie może wyjść ani \(\displaystyle{ -1}\), ani \(\displaystyle{ 2}\).

kal0 · Post autor: **kal0** » 5 gru 2010, o 13:47

Teraz już nie rozumiem . ;/

miki999 · Post autor: **miki999** » 5 gru 2010, o 13:50

Zad.1 Wyznacz te wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których równanie \(\displaystyle{ (x^{2} - x - 2)(x^{2} + (m-3)x + 1) = 0}\) ma cztery różne pierwiastki.

1. nawias ma pierwiastki: \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -1}\).

Sprawdziłeś warunek, kiedy drugie równanie ma 2 pierwiastki, ale przecież mogą one być równe \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ -1}\), a wtedy nie będą to cztery różne pierwiastki.

kal0 · Post autor: **kal0** » 5 gru 2010, o 13:54

miki999 pisze:No teraz musisz wykluczyć trochę \(\displaystyle{ m}\). Wartość pierwiastka nie może wyjść ani \(\displaystyle{ -1}\), ani \(\displaystyle{ 2}\).

No ale którego pierwiastka .
Mam ten przedział:\(\displaystyle{ m \in (- \infty ; 1) \cup (5 ; + \infty ).}\) i stąd muszę wykluczyć te dwa pierwiastki .. 2 i -1 ?

miki999 · Post autor: **miki999** » 5 gru 2010, o 13:57

Masz wykluczyć wszystkie \(\displaystyle{ m}\), dla których pierwiastek równania \(\displaystyle{ (x^{2} + (m-3)x + 1)}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ -1}\).

kal0 · Post autor: **kal0** » 5 gru 2010, o 14:04

Czyli tak:
\(\displaystyle{ (x^{2} + (m-3)x + 1)}\), dla \(\displaystyle{ x= -1}\)
\(\displaystyle{ 1 - m + 3 + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ m = 5}\)

\(\displaystyle{ (x^{2} + (m-3)x + 1)}\), dla \(\displaystyle{ x= 2}\)
\(\displaystyle{ 4 + (m-3)*2 +1 = 0}\)
\(\displaystyle{ 4 + 2m - 6 + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ 2m = 1}\)
\(\displaystyle{ m = \frac{1}{2}}\)

Czyli \(\displaystyle{ m \in (- \infty ; 1) \cup (5 ; + \infty ) - \left\{ \frac{1}{2}; 5 \right\} .}\)