Reszta z dzielenia wielomianu w

[pitercr]

Mam takie zadanie:

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu w przez wielomian:
b) \(\displaystyle{ x^2-x-6}\) jeśli reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian \(\displaystyle{ x-3}\) jest równa \(\displaystyle{ 2}\), a przez dwumian \(\displaystyle{ x+2}\) jest równa \(\displaystyle{ 7}\).

Bardzo proszę o pomoc.

[lukasz1804]

Z założenia i twierdzenia Bezouta mamy \(\displaystyle{ w(3)=2, w(-2)=7}\). Ponadto \(\displaystyle{ x^2-x-6=(x-3)(x+2)}\), więc \(\displaystyle{ w(x)=q(x)(x^2-x-6)+(ax+b)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ q}\) (reszta z dzielenia przez trójmian kwadratowy jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego). Powyższa równości ma przy pewnych \(\displaystyle{ a,b}\) zachodzić przy każdym \(\displaystyle{ x}\). Stąd w szczególności jest \(\displaystyle{ 2=w(3)=3a+b, 7=w(-2)=-2a+b}\). Wystarczy teraz rozwiązać prosty układ równań liniowych z niewiadomymi \(\displaystyle{ a,b}\). Szukana reszta z dzielenia to wielomian \(\displaystyle{ ax+b}\).

[piotru64]

\(\displaystyle{ a= \frac{5}{4}}\)
\(\displaystyle{ b=- \frac{7}{4}}\)

\(\displaystyle{ R(x)-reszta}\)

\(\displaystyle{ R(x)=\frac{5}{4}x- \frac{7}{4}}\)