Miejsca zerowe wielomianu

[Calfy]

Witam!

Potrzebuję wyznaczyć miejsca zerowe wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x)=x^3-3x-1}\)
Nie przychodzi mi do głowy żaden pomysł. Próbowałem się za to jakoś zabrać, ale z żadnej strony nie mogę tego podejść

Z góry dzięki za pomoc.
Calfy.

[Afish]

Prawdopodobnie będziesz musiał zastosować wzory Cardano.

[Calfy]

Jeszcze o nich nie słyszałem Ale pogooglowalem trochę i z tego co się doczytałem, to mogę, mając równianie w postaci \(\displaystyle{ x^3-3x-1=0}\), wyznaczyć sobie wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta =\left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}{2} \right)^2}\), co w moim przypadku daje:
\(\displaystyle{ \Delta =\left( \frac{-3}{3} \right)^3 + \left( \frac{-1}{2} \right)^2 =-1+ \frac{1}{4}=-\frac{3}{4}}\)

I dalej, że jeżeli \(\displaystyle{ \Delta <0}\), to równanie ma 3 pierwiastki. Jeden z nich równy jest \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{- \frac{q}{2}- \sqrt{\Delta}} +\sqrt[3]{- \frac{q}{2}+ \sqrt{\Delta}}}\) , czyli u mnie:

\(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{- \frac{-1}{2}- \sqrt{-\frac{3}{4}}} +\sqrt[3]{- \frac{-1}{2}+ \sqrt{-\frac{3}{4}}} \\ x= \sqrt[3]{\frac{1}{2}- \sqrt{-\frac{3}{4}}} +\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{-\frac{3}{4}}}}\)

No i co z tym można zrobić? Z moją obecną wiedzą to nie istnieje pierwiastek z liczby ujemnej. A o liczbach zespolonych nie mam pojęcia Gdzieś na jakiejś stronie wyrażenie tego typu zostało po prostu odpowiednio przekształcone i w rezultacie dało liczbę rzeczywistą. Wyrażenie pod pierwiastkami zapisano jako sześciany. Ale tutaj chyba się tak nie da?

Pewnie coś namieszałem już, ale może coś się z tym uda zrobić

[Afish]

Dobrze szukasz, ale chyba złą sekcję przeczytałeś A konkretniej wziąłeś wzory na pierwiastki w sytuacji, gdy delta jest mniejsza od zera. Poczytaj paragraf wyżej (Jak znaleźć jeden pierwiastek) i z niego powinno wyjść coś "normalnego"

[Calfy]

Ale przecież ta delta wyszła mniejsza od zera (\(\displaystyle{ -\frac{5}{4}}\)) ? Czy to nie ta delta?

[Afish]

Ta delta. Ale albo już jest za późna pora dla mnie na liczenie zadań z matmy, albo Ty wziąłeś wzór na pierwiastek w przypadku delty dodatniej Jeżeli nie mam racji, to przepraszam i już się nie odzywam -- 25 listopada 2010, 00:26 --Okej. Przeliczyłem to i wyszły mi trzy rozwiązania:
\(\displaystyle{ x_0 = 2cos\frac{\pi}{9}\\x_1=2cos\frac{7\pi}{9}\\x_2=2cos\frac{13\pi}{9}}\)

[Calfy]

Z tego co tam było napisane to wzór na ten pierwiastek jest taki sam.

Dzięki serdeczne za rozwiązania

PS. Tam wyżej w moim poście był błąd, delta była nie \(\displaystyle{ -\frac{5}{4}}\) tylko \(\displaystyle{ -\frac{3}{4}}\) . Już poprawiłem to