Witam!
Potrzebuję wyznaczyć miejsca zerowe wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x)=x^3-3x-1}\)
Nie przychodzi mi do głowy żaden pomysł. Próbowałem się za to jakoś zabrać, ale z żadnej strony nie mogę tego podejść
Z góry dzięki za pomoc.
Calfy.
Miejsca zerowe wielomianu
- Calfy
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 22 paź 2010, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 3 razy
Miejsca zerowe wielomianu
Jeszcze o nich nie słyszałem Ale pogooglowalem trochę i z tego co się doczytałem, to mogę, mając równianie w postaci \(\displaystyle{ x^3-3x-1=0}\), wyznaczyć sobie wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta =\left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}{2} \right)^2}\), co w moim przypadku daje:
\(\displaystyle{ \Delta =\left( \frac{-3}{3} \right)^3 + \left( \frac{-1}{2} \right)^2 =-1+ \frac{1}{4}=-\frac{3}{4}}\)
I dalej, że jeżeli \(\displaystyle{ \Delta <0}\), to równanie ma 3 pierwiastki. Jeden z nich równy jest \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{- \frac{q}{2}- \sqrt{\Delta}} +\sqrt[3]{- \frac{q}{2}+ \sqrt{\Delta}}}\) , czyli u mnie:
\(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{- \frac{-1}{2}- \sqrt{-\frac{3}{4}}} +\sqrt[3]{- \frac{-1}{2}+ \sqrt{-\frac{3}{4}}} \\ x= \sqrt[3]{\frac{1}{2}- \sqrt{-\frac{3}{4}}} +\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{-\frac{3}{4}}}}\)
No i co z tym można zrobić? Z moją obecną wiedzą to nie istnieje pierwiastek z liczby ujemnej. A o liczbach zespolonych nie mam pojęcia Gdzieś na jakiejś stronie wyrażenie tego typu zostało po prostu odpowiednio przekształcone i w rezultacie dało liczbę rzeczywistą. Wyrażenie pod pierwiastkami zapisano jako sześciany. Ale tutaj chyba się tak nie da?
Pewnie coś namieszałem już, ale może coś się z tym uda zrobić
\(\displaystyle{ \Delta =\left( \frac{-3}{3} \right)^3 + \left( \frac{-1}{2} \right)^2 =-1+ \frac{1}{4}=-\frac{3}{4}}\)
I dalej, że jeżeli \(\displaystyle{ \Delta <0}\), to równanie ma 3 pierwiastki. Jeden z nich równy jest \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{- \frac{q}{2}- \sqrt{\Delta}} +\sqrt[3]{- \frac{q}{2}+ \sqrt{\Delta}}}\) , czyli u mnie:
\(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{- \frac{-1}{2}- \sqrt{-\frac{3}{4}}} +\sqrt[3]{- \frac{-1}{2}+ \sqrt{-\frac{3}{4}}} \\ x= \sqrt[3]{\frac{1}{2}- \sqrt{-\frac{3}{4}}} +\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{-\frac{3}{4}}}}\)
No i co z tym można zrobić? Z moją obecną wiedzą to nie istnieje pierwiastek z liczby ujemnej. A o liczbach zespolonych nie mam pojęcia Gdzieś na jakiejś stronie wyrażenie tego typu zostało po prostu odpowiednio przekształcone i w rezultacie dało liczbę rzeczywistą. Wyrażenie pod pierwiastkami zapisano jako sześciany. Ale tutaj chyba się tak nie da?
Pewnie coś namieszałem już, ale może coś się z tym uda zrobić
Ostatnio zmieniony 25 lis 2010, o 12:12 przez Calfy, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Moderator
- Posty: 2828
- Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Seattle, WA
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 356 razy
Miejsca zerowe wielomianu
Dobrze szukasz, ale chyba złą sekcję przeczytałeś A konkretniej wziąłeś wzory na pierwiastki w sytuacji, gdy delta jest mniejsza od zera. Poczytaj paragraf wyżej (Jak znaleźć jeden pierwiastek) i z niego powinno wyjść coś "normalnego"
-
- Moderator
- Posty: 2828
- Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Seattle, WA
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 356 razy
Miejsca zerowe wielomianu
Ta delta. Ale albo już jest za późna pora dla mnie na liczenie zadań z matmy, albo Ty wziąłeś wzór na pierwiastek w przypadku delty dodatniej Jeżeli nie mam racji, to przepraszam i już się nie odzywam -- 25 listopada 2010, 00:26 --Okej. Przeliczyłem to i wyszły mi trzy rozwiązania:
\(\displaystyle{ x_0 = 2cos\frac{\pi}{9}\\x_1=2cos\frac{7\pi}{9}\\x_2=2cos\frac{13\pi}{9}}\)
\(\displaystyle{ x_0 = 2cos\frac{\pi}{9}\\x_1=2cos\frac{7\pi}{9}\\x_2=2cos\frac{13\pi}{9}}\)
- Calfy
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 22 paź 2010, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 3 razy
Miejsca zerowe wielomianu
Z tego co tam było napisane to wzór na ten pierwiastek jest taki sam.
Dzięki serdeczne za rozwiązania
PS. Tam wyżej w moim poście był błąd, delta była nie \(\displaystyle{ -\frac{5}{4}}\) tylko \(\displaystyle{ -\frac{3}{4}}\) . Już poprawiłem to
Dzięki serdeczne za rozwiązania
PS. Tam wyżej w moim poście był błąd, delta była nie \(\displaystyle{ -\frac{5}{4}}\) tylko \(\displaystyle{ -\frac{3}{4}}\) . Już poprawiłem to