Witam.
Mam problem z takim zadaniem:
Znaleźć w rozwinięciu dwumianu \(\displaystyle{ ( \sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) ^{33}}\) wyraz, który nie zawiera x.
Proszę o pomoc i szybka odpowiedz.
Znaleźć w rozwinieciu dwumianu
Znaleźć w rozwinieciu dwumianu
Ostatnio zmieniony 24 lis 2010, o 13:38 przez saerimne, łącznie zmieniany 2 razy.
-
matmi
- Użytkownik
- Posty: 388
- Rejestracja: 14 lis 2010, o 19:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 40 razy
Znaleźć w rozwinieciu dwumianu
\(\displaystyle{ \left( \sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) ^{33}}\)
W rozwinięciu pojawiają się iloczyny \(\displaystyle{ \left(\sqrt[4]{x}\right)^k \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{33-k}}\) przemnożone przez pewne stałe
\(\displaystyle{ \left(\sqrt[4]{x}\right)^k \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{33-k}=\left({x^{\frac{1}{4}}\right)^k \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{33-k}=x^{\frac{k}{4}}\cdot x^{-\frac{33-k}{2}}=
x^{\frac{k}{4}-\frac{33-k}{2}}=x^{\frac{k}{4}-\frac{66-2k}{4}}=
x^{\frac{3k-66}{4}}}\)
Pytamy kiedy to jest równe \(\displaystyle{ 1=x^0}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{3k-66}{4}=0 \Leftrightarrow k=22}\).
Wyraz ten będzie wyglądał zatem \(\displaystyle{ {33 \choose 22}\cdot 1=193536720}\)
W rozwinięciu pojawiają się iloczyny \(\displaystyle{ \left(\sqrt[4]{x}\right)^k \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{33-k}}\) przemnożone przez pewne stałe
\(\displaystyle{ \left(\sqrt[4]{x}\right)^k \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{33-k}=\left({x^{\frac{1}{4}}\right)^k \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{33-k}=x^{\frac{k}{4}}\cdot x^{-\frac{33-k}{2}}=
x^{\frac{k}{4}-\frac{33-k}{2}}=x^{\frac{k}{4}-\frac{66-2k}{4}}=
x^{\frac{3k-66}{4}}}\)
Pytamy kiedy to jest równe \(\displaystyle{ 1=x^0}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{3k-66}{4}=0 \Leftrightarrow k=22}\).
Wyraz ten będzie wyglądał zatem \(\displaystyle{ {33 \choose 22}\cdot 1=193536720}\)