Pierwiastek podwójny równania trzeciego stopnia

[Sponki]

Wykaż, że jeżeli równanie postaci \(\displaystyle{ x^{3} + ax + b = 0}\) ma pierwiastek podwójny, to \(\displaystyle{ 4a^3+27b^2 = 0}\).

[tometomek91]

ze wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ x_1+2x_2=0\\
2x_1x_2+x^2_2=a\\
x_1x^2_2=-b}\)
Z pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ x_1=-2x_2}\)
wstawiamy do innych
\(\displaystyle{ -3x^2_2=a\\
-2x^3_2=-b}\)
czyli faktycznie
\(\displaystyle{ 4a^3+27b^2 =4(-3x^2_2)^3+27(2x^3_2)^2= 0}\)

[Sponki]

A czy w tym: \(\displaystyle{ x_1+2x_2=0}\) zamiast \(\displaystyle{ 2x}\) nie powinno być \(\displaystyle{ x^{2}}\).
Bo pierwiastek podwójny to ten co jest do kwadratu podniesiony chyba. Na przykład \(\displaystyle{ (x-1)^{2}}\) to wtedy \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem podwójnym.

??

[tometomek91]

Nie, to co równe jest zero, jest sumą wszystkich pierwiastków, a jako że jeden z nich jest podwójny wiec jest \(\displaystyle{ 2x_2}\).

[Sponki]

Dzięki wielkie. wszystko było ok:) Po prostu to był pewien skok w rozwiązaniu i nie wiedziałem skąd wzięły się w ogóle te równania.