Rozkład wielomianu
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wąbrzeźno
- Podziękował: 22 razy
Rozkład wielomianu
W jaki sposób obliczono ten rozkład wielomianu:
\(\displaystyle{ x^{4} + 6x ^{3} + 16x ^{2} + 32x = x(x+4)(x ^{2} +2x+8)}\)
Jeżeli znajdzie się Ktoś taki wyrozumiały i wytłumaczy mnie "krok po kroku" uzyskany wynik to będę bardzo wdzięczny.
\(\displaystyle{ x^{4} + 6x ^{3} + 16x ^{2} + 32x = x(x+4)(x ^{2} +2x+8)}\)
Jeżeli znajdzie się Ktoś taki wyrozumiały i wytłumaczy mnie "krok po kroku" uzyskany wynik to będę bardzo wdzięczny.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozkład wielomianu
\(\displaystyle{ x^{4} + 6x ^{3} + 16x ^{2} + 32x=0\\
x^4+6x^3=-16x^2-32x\\
x^4+6x^3+9x^2=-7x^2-32x\\
\left( x^2+3x\right)^2= -7x^2-32x\\
\left( x^2+3x+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( y-7\right)x^2+\left( 3y-32\right)x+ \frac{y^2}{4}\\
\left( 3y-32\right)^2=y^2\left( y-7\right)\\
9y^2-192y+1024=y^3-7y^2\\
y^3-16y^2+192y-1024=0\\
y=8\\
\left( x^2+3x+4\right)^2 =x^2 -8x+16\\
\left( x^2+3x+4\right)^2=\left( x-4\right)^2\\
\left( x^2+2x+8\right)\left(x^2+4x \right)\\
x\left( x+4\right)\left( x^2+2x+8\right)}\)
Można też skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych oraz z twierdzenia Bezout
(Akurat w tym przykładzie da radę)
x^4+6x^3=-16x^2-32x\\
x^4+6x^3+9x^2=-7x^2-32x\\
\left( x^2+3x\right)^2= -7x^2-32x\\
\left( x^2+3x+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( y-7\right)x^2+\left( 3y-32\right)x+ \frac{y^2}{4}\\
\left( 3y-32\right)^2=y^2\left( y-7\right)\\
9y^2-192y+1024=y^3-7y^2\\
y^3-16y^2+192y-1024=0\\
y=8\\
\left( x^2+3x+4\right)^2 =x^2 -8x+16\\
\left( x^2+3x+4\right)^2=\left( x-4\right)^2\\
\left( x^2+2x+8\right)\left(x^2+4x \right)\\
x\left( x+4\right)\left( x^2+2x+8\right)}\)
Można też skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych oraz z twierdzenia Bezout
(Akurat w tym przykładzie da radę)
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wąbrzeźno
- Podziękował: 22 razy
Rozkład wielomianu
Bardzo serdecznie dziękuję za rozwiązanie.Teraz dopiero wiem,jak daleko w tyle jest moja wiedza w tym temacie.Będę teraz krok po kroku to analizował.-- 21 lis 2010, o 13:46 --
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 21 maja 2010, o 00:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 3 razy
Rozkład wielomianu
Mam pytania skąd sie wzieło to y ?? Czy to jest jakis sposob rozkladu wielomianu na czynniki ( jak grupowanie czy bezout ) ??
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wąbrzeźno
- Podziękował: 22 razy
Rozkład wielomianu
Przepraszam, ale stanąłem nad rozwikłaniem \(\displaystyle{ ( x ^{2} + 3x) ^{2}}\). Nie wiem skąd wziął się tam \(\displaystyle{ \frac{y}{2}}\), bo wg. mojej prymitywnej wiedzy wychodzi \(\displaystyle{ x ^{4} +6x ^{3} + 9x ^{2}}\). Będę wdzięczny za dalsze do edukowanie.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Rozkład wielomianu
Po prostu @Mariuszm podał metodę Ferrariego, której używa się w ostatecznej ostateczności (albo jeszcze rzadziej). W prostych przykładach, najlepiej pogrupować wyrazy, albo poszukać pierwiastków w dzielnikach ostatniego wyrazu, np ten przykład:
\(\displaystyle{ x^4+6x^3+16x^2+32x = x(x^3+6x^2+16x+32) = x(x^3+4x^2+2x^2+8x+8x+32) = x(x^2(x+4)+2x(x+4)+8(x+4)) = x(x+4)(x^2+2x+8)}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ x^4+6x^3+16x^2+32x = x(x^3+6x^2+16x+32) = x(x^3+4x^2+2x^2+8x+8x+32) = x(x^2(x+4)+2x(x+4)+8(x+4)) = x(x+4)(x^2+2x+8)}\)
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wąbrzeźno
- Podziękował: 22 razy
Rozkład wielomianu
Dzięki serdeczne, ten sposób okazał się najbardziej zrozumiały i już wiem wszystko. Pozdrawiam
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozkład wielomianu
Vax , tak ale to co wymieniłeś działa tylko w najprostszych przypadkach
Metoda Ferrariego czasami może dawać pierwiastki w skomplikowanej postaci
ale da je na pewno .
jerzy19462,
Aby trójmian kwadratowy był kwadratem to jego wyróżnik musi być równy zero
Gdy policzysz wyróżnik bez wprowadzania nowej niewiadomej to nie będzie on zerowy
Wprowadzając nową niewiadomą możesz ustalić kiedy trójmian kwadratowy (prawa strona równania)
będzie miał wyróżnik równy zero
Nową niewiadomą wprowadzasz tak aby lewa strona nadal była kwadratem
tj dodajesz stronami odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia
na kwadrat sumy
(Wiesz teraz dlaczego wprowadziłem to y)
Metoda Ferrariego czasami może dawać pierwiastki w skomplikowanej postaci
ale da je na pewno .
jerzy19462,
Aby trójmian kwadratowy był kwadratem to jego wyróżnik musi być równy zero
Gdy policzysz wyróżnik bez wprowadzania nowej niewiadomej to nie będzie on zerowy
Wprowadzając nową niewiadomą możesz ustalić kiedy trójmian kwadratowy (prawa strona równania)
będzie miał wyróżnik równy zero
Nową niewiadomą wprowadzasz tak aby lewa strona nadal była kwadratem
tj dodajesz stronami odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia
na kwadrat sumy
(Wiesz teraz dlaczego wprowadziłem to y)
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wąbrzeźno
- Podziękował: 22 razy