Rozkład wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
jerzy19462
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wąbrzeźno
Podziękował: 22 razy

Rozkład wielomianu

Post autor: jerzy19462 »

W jaki sposób obliczono ten rozkład wielomianu:

\(\displaystyle{ x^{4} + 6x ^{3} + 16x ^{2} + 32x = x(x+4)(x ^{2} +2x+8)}\)

Jeżeli znajdzie się Ktoś taki wyrozumiały i wytłumaczy mnie "krok po kroku" uzyskany wynik to będę bardzo wdzięczny.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Rozkład wielomianu

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ x^{4} + 6x ^{3} + 16x ^{2} + 32x=0\\
x^4+6x^3=-16x^2-32x\\
x^4+6x^3+9x^2=-7x^2-32x\\
\left( x^2+3x\right)^2= -7x^2-32x\\
\left( x^2+3x+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( y-7\right)x^2+\left( 3y-32\right)x+ \frac{y^2}{4}\\
\left( 3y-32\right)^2=y^2\left( y-7\right)\\
9y^2-192y+1024=y^3-7y^2\\
y^3-16y^2+192y-1024=0\\
y=8\\
\left( x^2+3x+4\right)^2 =x^2 -8x+16\\
\left( x^2+3x+4\right)^2=\left( x-4\right)^2\\
\left( x^2+2x+8\right)\left(x^2+4x \right)\\
x\left( x+4\right)\left( x^2+2x+8\right)}\)


Można też skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych oraz z twierdzenia Bezout
(Akurat w tym przykładzie da radę)
jerzy19462
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wąbrzeźno
Podziękował: 22 razy

Rozkład wielomianu

Post autor: jerzy19462 »

Bardzo serdecznie dziękuję za rozwiązanie.Teraz dopiero wiem,jak daleko w tyle jest moja wiedza w tym temacie.Będę teraz krok po kroku to analizował.-- 21 lis 2010, o 13:46 --
toniz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 21 maja 2010, o 00:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 3 razy

Rozkład wielomianu

Post autor: toniz »

Mam pytania skąd sie wzieło to y ?? Czy to jest jakis sposob rozkladu wielomianu na czynniki ( jak grupowanie czy bezout ) ??
jerzy19462
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wąbrzeźno
Podziękował: 22 razy

Rozkład wielomianu

Post autor: jerzy19462 »

Przepraszam, ale stanąłem nad rozwikłaniem \(\displaystyle{ ( x ^{2} + 3x) ^{2}}\). Nie wiem skąd wziął się tam \(\displaystyle{ \frac{y}{2}}\), bo wg. mojej prymitywnej wiedzy wychodzi \(\displaystyle{ x ^{4} +6x ^{3} + 9x ^{2}}\). Będę wdzięczny za dalsze do edukowanie.
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Rozkład wielomianu

Post autor: Vax »

Po prostu @Mariuszm podał metodę Ferrariego, której używa się w ostatecznej ostateczności (albo jeszcze rzadziej). W prostych przykładach, najlepiej pogrupować wyrazy, albo poszukać pierwiastków w dzielnikach ostatniego wyrazu, np ten przykład:

\(\displaystyle{ x^4+6x^3+16x^2+32x = x(x^3+6x^2+16x+32) = x(x^3+4x^2+2x^2+8x+8x+32) = x(x^2(x+4)+2x(x+4)+8(x+4)) = x(x+4)(x^2+2x+8)}\)

Pozdrawiam.
jerzy19462
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wąbrzeźno
Podziękował: 22 razy

Rozkład wielomianu

Post autor: jerzy19462 »

Dzięki serdeczne, ten sposób okazał się najbardziej zrozumiały i już wiem wszystko. Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Rozkład wielomianu

Post autor: Mariusz M »

Vax , tak ale to co wymieniłeś działa tylko w najprostszych przypadkach
Metoda Ferrariego czasami może dawać pierwiastki w skomplikowanej postaci
ale da je na pewno .

jerzy19462,
Aby trójmian kwadratowy był kwadratem to jego wyróżnik musi być równy zero
Gdy policzysz wyróżnik bez wprowadzania nowej niewiadomej to nie będzie on zerowy
Wprowadzając nową niewiadomą możesz ustalić kiedy trójmian kwadratowy (prawa strona równania)
będzie miał wyróżnik równy zero
Nową niewiadomą wprowadzasz tak aby lewa strona nadal była kwadratem
tj dodajesz stronami odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia
na kwadrat sumy
(Wiesz teraz dlaczego wprowadziłem to y)
jerzy19462
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wąbrzeźno
Podziękował: 22 razy

Rozkład wielomianu

Post autor: jerzy19462 »

Dzieki za uzupełnienie mojej wiedzy.
ODPOWIEDZ