Wielomiany zad z treścią numer 3

[Robson1416]

Znajdź wielomian w(x) stopnia \(\displaystyle{ \le 5}\) dla którego

\(\displaystyle{ w(1) = -2; w'(1)=-7; w''(1)=-14; w'''(1)=24; w(2)=-4 oraz w'(2)=25}\)

Jak to rowiązać ?

[matmi]

Niech \(\displaystyle{ w(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f}\)
\(\displaystyle{ w(1)}\) to suma współczynników, czyli:

\(\displaystyle{ a+b+c+d+e+f=-2}\)

\(\displaystyle{ w'(x)=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e}\), zatem

\(\displaystyle{ a+b+c+d+e=-7}\), czyli z tego i poprzedniego równania wynika, że \(\displaystyle{ f=5}\).

\(\displaystyle{ a+b+c+d=-14 \Rightarrow e=7}\)

\(\displaystyle{ a+b+c=24 \Rightarrow d=-30}\)

\(\displaystyle{ w(x)=ax^5+bx^4+cx^3-30x^2+7x+5}\)
\(\displaystyle{ w'(x)=5ax^4+4bx^3+3cx^2-60x+7}\)

\(\displaystyle{ w(2)=a\cdot 2^5+b\cdot 2^4+c\cdot 2^3-30\cdot 2^2+7\cdot 2+5=-4}\)
\(\displaystyle{ w'(2)=5a\cdot 2^4+4b\cdot 2^3+3c\cdot 2^2-60\cdot 2+7=25}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a\cdot 2^5+b\cdot 2^4+c\cdot 2^3-30\cdot 2^2+7\cdot 2+5=-4 \\
5a\cdot 2^4+4b\cdot 2^3+3c\cdot 2^2-60\cdot 2+7=25\\
a+b+c=24 \end{cases}}\)

Rozwiązujesz układ i masz!

[Robson1416]

Dzięki, mam nadzieje, że nie uwzględniłaś w(x)' jako pochodnej , bo to są poprostu kolejne pierwiastki w punktcie. Natomiast d powinno być - 38 , ale dziękuje za pomoc

Niech \(\displaystyle{ w(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f}\)
\(\displaystyle{ w(1)}\) to suma współczynników, czyli:

\(\displaystyle{ a+b+c+d+e+f=-2}\)

\(\displaystyle{ w'(x)=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e}\), zatem

\(\displaystyle{ a+b+c+d+e=-7}\), czyli z tego i poprzedniego równania wynika, że \(\displaystyle{ f=5}\).

\(\displaystyle{ a+b+c+d=-14 \Rightarrow e=7}\)

\(\displaystyle{ a+b+c=24 \Rightarrow d=-30}\)

\(\displaystyle{ w(x)=ax^5+bx^4+cx^3-30x^2+7x+5}\)
\(\displaystyle{ w'(x)=5ax^4+4bx^3+3cx^2-60x+7}\)

\(\displaystyle{ w(2)=a\cdot 2^5+b\cdot 2^4+c\cdot 2^3-30\cdot 2^2+7\cdot 2+5=-4}\)
\(\displaystyle{ w'(2)=5a\cdot 2^4+4b\cdot 2^3+3c\cdot 2^2-60\cdot 2+7=25}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a\cdot 2^5+b\cdot 2^4+c\cdot 2^3-30\cdot 2^2+7\cdot 2+5=-4 \\
5a\cdot 2^4+4b\cdot 2^3+3c\cdot 2^2-60\cdot 2+7=25\\
a+b+c=24 \end{cases}}\)

Rozwiązujesz układ i masz!

No i coś mi nie wychodzi ten układ , niewiem jak pozbyć się jednej zmiennej, bo zawsze mam po 2 zmienne w równaniu

[matmi]

Na przykład z trzeciego wyznacz \(\displaystyle{ c}\) i podstaw do pierwszego i drugiego i tylko nimi się zajmij znajdując \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) na koniec wyliczysz \(\displaystyle{ c}\) z ostatniego