Rozłóż wielomian na czynniki rzeczywiste nierozkładalne

[Robson1416]

\(\displaystyle{ \left( x^{6} + 64 \right) = (x^{3}+8)(x^{3}-8) = (x+2)^{3}*(x-2)^{3}}\)

I teraz:

\(\displaystyle{ (x-2)^{3} = (x-8)(x^{2}+8x+64)}\) - liniowa nie rozkładalna, a w kwadratowej \(\displaystyle{ delta < 0}\), więc się nie rozłoży.

\(\displaystyle{ (x+2)^{3}=(x^{3}+6x^{2}+12x+8)}\) - można podzielić bo \(\displaystyle{ W(-2)=0}\)

Po podzieleniu wychodzi, że \(\displaystyle{ (x^{3}+6x^{2}+12x+8)=(x+2)(x^{2}+4x+4)}\) i znowu, liniowa się nie rozłoży, ale mam wątpliwości co do kwadratowej ponieważ \(\displaystyle{ delta = 0}\)

Czy obliczyć i ostatecznie ta część wielomianu się rozłoży na \(\displaystyle{ (x+2)(x-2)}\) czy zostawić kwadratową, proszę o pomoc.

[Vax]

Już na początku masz źle:

\(\displaystyle{ (x^3+8)(x^3-8) = x^6-64 \neq x^6+64}\)

Pozdrawiam.

[Robson1416]

Już na początku masz źle:

\(\displaystyle{ (x^3+8) (x^3-8) = x^6-64 \neq x^6+64}\)

Pozdrawiam.

rzeczywiście, a mogę rozdzielić to na \(\displaystyle{ (x^3+8)(x^3+8)}\) ?

[Vax]

Nie, nie ma takiego wzoru Możesz jedynie rozłożyć to tak:

\(\displaystyle{ x^6+64}\)

\(\displaystyle{ x^2=t}\)

\(\displaystyle{ t^3+64=t^3+4^3 = (t+4)(t^2-4t+16) = (x^2+4)(x^4-4x^2+16)}\)

Pozdrawiam.

[Robson1416]

No tak, Dzięki, mam pytanko, a jak by się okazało , że delta wychodzi 0, tak jak w tym złym przykładzie to jak mam to zrobić ?

Nie, nie ma takiego wzoru Możesz jedynie rozłożyć to tak:

\(\displaystyle{ x^6+64}\)

\(\displaystyle{ x^2=t}\)

\(\displaystyle{ t^3+64=t^3+4^3 = (t+4)(t^2-4t+16) = (x^2+4)(x^4-4x^2+16)}\)

Pozdrawiam.

[Vax]

Jeżeli delta wychodzi 0, to oznacza, że dany trójmian kwadratowy ma jeden dwukrotny pierwiastek, więc da się go zawinąć w wzór skróconego mnożenia

Pozdrawiam.

[Robson1416]

Jeżeli delta wychodzi 0, to oznacza, że dany trójmian kwadratowy ma jeden dwukrotny pierwiastek, więc da się go zawinąć w wzór skróconego mnożenia

Pozdrawiam.

Dzięki i już naprawde ostatnie pytanie

\(\displaystyle{ (x^2+4)(x^4-4x^2+16)}\)

Sprawdzam to i ten drugi nawias się nie rozłoży wogóle ?

[Vax]

Można go rozłożyć:

\(\displaystyle{ x^4-4x^2+16 = (x^2+2\sqrt{3}x+4)(x^2-2\sqrt{3}x+4)}\)

Jednak dosyć ciężko do tego dojść, tutaj akurat wykorzystałem metodę Ferrariego.

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

Vax, czy aby na pewno

Robson1416, suma sześcianów powinna pomóc

\(\displaystyle{ \left( x^2\right)^3+\left( 4 \right)^3=\left( x^2+4\right)\left( x^4-4x^2+16\right) \\
=\left( x^2+4\right)\left( x^4+8x^2+16-12x^2\right)\\
=\left( x^2+4\right)\left( x^2-2 \sqrt{3}x+4\right)\left( x^2+2 \sqrt{3} x+4\right)}\)

Widzisz Vax, nie trzeba podstawiać wystarczą same wzory skróconego mnożenia

Ja tylko odniosłem się do cytatu

Nie, nie ma takiego wzoru Możesz jedynie rozłożyć to tak:

\(\displaystyle{ x^6+64}\)

\(\displaystyle{ x^2=t}\)

\(\displaystyle{ t^3+64=t^3+4^3 = (t+4)(t^2-4t+16) = (x^2+4)(x^4-4x^2+16)}\)

Pozdrawiam.

Vax, pomyliłem się tylko ze znakami

Już poprawiłem
Ja też mam dobrze a w dodatku pokazałem że podstawienie jest zbędne

Vax, jest poprawny ale nie potrzebnie podstawiałeś

[Vax]

@Mariuszm przecież zrobiłem dokładnie to, co napisałeś, tylko dla ułatwienia podstawiłem zmienną pomocniczą t

Pozdrawiam.-- 20 lis 2010, o 21:32 --Tylko, że ja odwoływałem się do tego, co proponował @Robson1416 w 2 swoim poście, pytał się, czy można zapisać: \(\displaystyle{ x^6+64=(x^3+8)(x^3+8)}\) a ja mu odpisałem, że nie ma takiego wzoru, o to mi chodziło Poza tym, źle rozłożyłeś te równanie 4 stopnia:

\(\displaystyle{ (x^2-2x+4)(x^2+2x+4) = x^4+4x^2+16 \neq x^4-4x^2+16}\)

Mój rozkład jest poprawny.

Pozdrawiam.

[Robson1416]

Rozłóż wielomian \(\displaystyle{ z^4 + 5^4}\) na iloczyn dwóch rzeczywistych wielomianów
stopnia 2.