Znajdź resztę bez wykonywania dzielenia

[Robson1416]

Znajdź resztę bez wykonywania dzielenia

\(\displaystyle{ x^{6} + x - 50}\)
\(\displaystyle{ x^{3} + 8}\)

Jak zrobićto zadanie

[matmi]

Trzeba zauważyć, że \(\displaystyle{ (x^3+8)(x^3-8)=x^6-64}\)
Zatem reszta z dzielenia będzie \(\displaystyle{ x^6+x-50-(x^6-64)=x+14}\)

[Robson1416]

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ z^4 + 5^4}\) przez wielomian
\(\displaystyle{ z − i}\), nie wykonując jawnie dzielenia.

[matmi]

\(\displaystyle{ z^4 + 5^4=5^4-(i)^2(z)^4=5^4-(iz)^2z^2}\)

czyli reszta to będzie: \(\displaystyle{ 5^4}\) bądź też \(\displaystyle{ -5^4}\)

[Robson1416]

\(\displaystyle{ z^4 + 5^4=5^4-(i)^2(z)^4=5^4-(iz)^2z^2}\)

czyli reszta to będzie: \(\displaystyle{ 5^4}\) bądź też \(\displaystyle{ -5^4}\)

popełniłem błąd w przykładzie ... miałem podzielić przez \(\displaystyle{ z-i}\)

i jeszcze jeden przykład z którym mam problem to
\(\displaystyle{ z^4+2^4}\) podzielić przez \(\displaystyle{ z+2i}\)

\(\displaystyle{ z^4+2^4}\) podzielić przez \(\displaystyle{ z-i}\)

\(\displaystyle{ 5^{4} - [z^{4}-(i)^{2}]= 5^{4}-i (z^4)}\)

czyli reszta to \(\displaystyle{ 5^{4}-i}\) --- dobrze ?

[matmi]

\(\displaystyle{ (z-i)(z+i)=z+1}\)
\(\displaystyle{ (z+1)(z-1)=z^2-1}\)
\(\displaystyle{ (z^2-1)(z^2+1)=z^4-1}\)

Reszta z dzielenia zatem to \(\displaystyle{ z^4+5^4-(z^4-1)=5^4+1}\)

Jeśli chodzi o kolejny przykład, to:
\(\displaystyle{ (z+2i)(z-2i)=z^2+4}\)
\(\displaystyle{ (z^2+4)(z^2-4)=z^4-16=z^4-2^4}\), czyli reszta to \(\displaystyle{ 2\cdot 2^4}\)

Kolejny przykład analogicznie jak wyżej.

Dla pewności lepiej sprawdzić dzieląc czy rzeczywiście tak ma wyjść..