wyznacz współczynnik, rozłóż na czynniki, podaj pierwiastki

[Lena900611]

Mógłby mi ktoś to sprawdzić i poprawić jeżeli źle to zrobiłam?

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x ^{3} +kx ^{2} - 4}\)
a) wyznacz współczynnik k tego wielomianu, wiedząc, że wielomian ten jest podzielny przez dwumian x+2
b) dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego pierwiastki.

a) Nie wiem czy to tak miałoby wyglądać:
\(\displaystyle{ W(x) = x ^{3} +kx ^{2} - 4}\)
\(\displaystyle{ W(2) = 2 ^{3} +k2 ^{2} - 4}\)
\(\displaystyle{ W (2) = 8 + 4k -4}\)
\(\displaystyle{ 4k = -4 /: 4}\)
\(\displaystyle{ k = 1}\)

b) \(\displaystyle{ W(x) = x ^{3} +x ^{2} - 4}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 17}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{17}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{-1 -\sqrt{17}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{-1 +\sqrt{17}}{2}}\)

[piasek101]

...że wielomian ten jest podzielny przez dwumian x+2

a) Nie wiem czy to tak miałoby wyglądać:
\(\displaystyle{ W(x) = x ^{3} +kx ^{2} - 4}\)
\(\displaystyle{ W(2) = 2 ^{3} +k2 ^{2} - 4}\)

Nie tak.
\(\displaystyle{ W(-2)=?}\)

[patdylus]

piasek101 ma rację
powinnaś obliczyć : \(\displaystyle{ W(-2)=?}\)
Przypomnienie : Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-p wtedy i tylko wtedy, gdy W(p)=0

a)
\(\displaystyle{ 0= \left(-2\right)^{3} + k * \left( -2\right)^{2} -4}\)
\(\displaystyle{ 3= k}\)

b) nie rozumiem jak mogłaś obliczać deltę, z tego co mi wiadomo to tak liczymy w funkcjach kwadratowych (drugiego stopnia)
rozwiązanie powyższego:
\(\displaystyle{ x^{3}+3x^{2}+4 = 0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}+2x^{2}+x^{2}-4=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}\left( x+2\right) + (x+2)(x-2) = 0}\)
\(\displaystyle{ (x+2)(x^{2}+x-2) = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = -2}\) \(\displaystyle{ $\\Delta = 9 \Rightarrow x_{2}= - 2$\ x_{3}= 1}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\{-2,1 \right\}}\)

[Lena900611]

Dziękuję za pomoc