Zbadaj, ile różnych rozwiazan , w zaleznosci od parametru n

[azi]

Witam. Mam problem z dwoma zadaniami.

Wykaż, że nierówność
\(\displaystyle{ -x^{4} + 4x^{3} + 2x^{2} -12x - 9 \le 0}\)
jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\)

i drugie

Zbadaj, ile różnych rozwiazan , w zaleznosci od parametru \(\displaystyle{ n \in N}\) , ma równanie
\(\displaystyle{ x^{n+1} + 128 = 2x^{n} + 64x}\)


jutro mam poprawe z wielomianow, rozklad na czynniki i nierownosci i rownania w miare ogarniam, ale pani lubi sobie dowalić takim zadankiem i takie trzeba obydwa rozwiazac zeby miec 3...

To pierwsze wiem ze trzeba sprawdzac dzielniki ostatniego wyrazu ale potem nie mam pojecia co dalej... jakby ktos mogl po kolei co i jak robic, i ogolnie jak zabierac sie za te zadania.

edit: pierwsze zrobilem, teraz to drugie..

[tometomek91]

1.
\(\displaystyle{ -x^{4} + 4x^{3} + 2x^{2} -12x - 9=-(x^2-2 x-3)^2 \le 0}\)
2.
\(\displaystyle{ x^{n+1} + 128 = 2x^{n} + 64x\\
x^{n+1}-2x^{n} -64x+ 128 =0\\
x^n(x-2)-64(x-2)=0\\
(x-2)(x^n-64)=0}\)
Jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ x=2}\)
i drugie
\(\displaystyle{ x=\sqrt[n]{64}}\)
Zbyt słabo doprecyzowane jet pytanie.

[matmi]

Dzielniki ostatniego wyrazu sprawdzasz po to bo są one podejrzanymi licznikami pierwiastków tzn. jeśli \(\displaystyle{ x= \frac{p}{q}}\) jest pierwiastkiem wielomianu to te dzielniki to podejrzane \(\displaystyle{ p}\) jeśli wogóle \(\displaystyle{ x}\) jest wymierne. Natomiast chcąc znaleźć \(\displaystyle{ q}\) to są to dzielniki wyrazu przy najwyższej potędze. (Tu szczęśliwie 1 ). I te wszystkie możliwości trzeba rozpatrzyć tzn. podstawiać wszystkie możliwe \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) plus minus znaki.

\(\displaystyle{ -x^{4} + 4x^{3} + 2x^{2} -12x - 9 = 0}\)
Zaczynaj od najprostszych \(\displaystyle{ 1,-1}\) i tutaj \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem więc
\(\displaystyle{ -x^{4} + 4x^{3} + 2x^{2} -12x - 9 = -x^{4} - x^3+ 5x^{3} + 5x^{2} - 3x^2 - 3x - 9x - 9 =
-x^{3}(x+1)+ 5x^{2}(x+1) - 3x(x+1) - 9(x + 1)= (-x^{3} + 5x^{2} - 3x - 9)(x+1) =\ldots}\)
i widzimy że -1 dalej jest pierwiastkiem więc:
\(\displaystyle{ \ldots = (-x^{3} - x^{2} +6x^2 + 6x - 9x - 9)(x+1) = \\(-x^{2}(x+1) +6x(x+1) - 9(x +1))(x+1)=
(-x^{2} +6x - 9)(x+1)^2 =\\ -(x-3)^2 (x+1)^2}\)

\(\displaystyle{ -(x-3)^2 (x+1)^2\le 0}\) dla dowolnego x.
Jasne czy jeszcze rozpisać?-- 15 lis 2010, o 18:31 --Jeśli \(\displaystyle{ n=6}\) to \(\displaystyle{ x=2}\) i mamy tylko jedno rozwiązanie, poza tym są dwa: \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt[n]{64}}\).

[azi]

no to pierwsze już jasne, ale to drugie nie bardzo... tzn to polecenie, jaka w nim w ogole ma byc odpowiedz.
Dzieki za pomoc

[matmi]

Jeśli \(\displaystyle{ n=6}\) to \(\displaystyle{ x= \sqrt[6]{64} = 2}\) i mamy tylko jedno rozwiązanie, poza tym są dwa: 2 oraz \(\displaystyle{ \sqrt[n]{64}}\).

[azi]

1.

\(\displaystyle{ x^{n+1} + 128 = 2x^{n} + 64x\\
x^{n+1}-2x^{n} -64x+ 128 =0\\
x^n(x-2)-64(x-2)=0\\
(x-2)(x^n-64)=0}\)
Jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ x=2}\)
i drugie
\(\displaystyle{ x=\sqrt[n]{64}}\)
Zbyt słabo doprecyzowane jet pytanie.

a gdzie się podziało n+1 ?-- 15 lis 2010, o 19:55 --dobra mam..