Wielomian trzeciego stopnia, parametr a trzy pierwiastki

karola1171 · Post autor: **karola1171** » 14 lis 2010, o 18:46

wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których wielomian \(\displaystyle{ w(x)= x ^{3}-mx+m-1}\) ma trzy pierwiastki.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 14 lis 2010, o 18:50

Jeden pewny x=1.

karola1171 · Post autor: **karola1171** » 14 lis 2010, o 19:09

a skąd to wiesz? przeciez wyraz wolny to m-1

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 14 lis 2010, o 20:11

Równanie rozwiązujące jest postaci

\(\displaystyle{ t^2+\left( m-1\right)t- \frac{m^3}{27}=0}\)

Wyróżnik tego trójmianu powinien być niedodatni

\(\displaystyle{ \Delta \leq 0}\)

Zdaje się że pomyliłem znaki
(zaraz do tego dojdę)

\(\displaystyle{ w(x)= x ^{3}-mx+m-1}\)

\(\displaystyle{ \left( u+v\right)^3-m\left( u+v\right)+m-1=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-m\left( u+v\right)+m-1=0\\
u^3+v^3+m-1=0\\
3\left( u+v\right) \left( uv- \frac{m}{3} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3 =-\left( m-1\right) \\ uv= \frac{m}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3 =-\left( m-1\right) \\ u^3v^3= \frac{m^3}{27} \end{cases} \\
t^2+\left( m-1\right)t+ \frac{m^3}{27} =0}\)

\(\displaystyle{ \left( m-1\right)^2- \frac{4m^3}{27} \leq 0\\
4m^3-27m^2+54m-27 \leq 0}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 14 lis 2010, o 20:13

\(\displaystyle{ W(1)=0}\)

zatem \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(co\mbox{ś})}\) (coś jest kwadratowe, ma mieć dwa różnwe rozwiązania, oba różne od 1)

mariuszm pisze:Równanie rozwiązujące jest postaci

\(\displaystyle{ t^2+\left( m-1\right)t- \frac{m^3}{27}=0}\)

Wyróżnik tego trójmianu powinien być niedodatni

\(\displaystyle{ \Delta \leq 0}\)

Fajne - tylko ten trzeci stopień przeszkadza..

A moje kwadratowe to \(\displaystyle{ x^2+x+1-m}\).

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 14 lis 2010, o 20:29

piasek101, Twierdzenie 4 u Sierpińskiego
Zasady algebry wyższej Tom 11 rozdział 10 paragraf 3
W tablicach Adamantan też mniej więcej to podają

karola1171 pisze:a skąd to wiesz? przeciez wyraz wolny to m-1

Wstawił jedynkę do równania i mu przypadkowo wyszło zero ale w ogólnym przypadku to trzeba sprawdzić czy wyróżnik równania rozwiązującego jest niedodatni

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 14 lis 2010, o 20:50

mariuszm pisze:piasek101, Twierdzenie 4 u Sierpińskiego
Zasady algebry wyższej Tom 11 rozdział 10 paragraf 3
W tablicach Adamantan też mniej więcej to podają

karola1171 pisze:a skąd to wiesz? przeciez wyraz wolny to m-1
Wstawił jedynkę do równania i mu przypadkowo wyszło zero ale w ogólnym przypadku to trzeba sprawdzić czy wyróżnik równania rozwiązującego jest niedodatni

Ty rób z Sierpińskiego (dla mnie to coś o armatach i takie tam). Ja użyję rozumu.

Na przyszłość - proszę oszczędź sobie wycieczek o przypadkowości.

Pisząc ,,trzeci stopień przeszkadza" widziałem \(\displaystyle{ m^3}\) - czyżby go nie było.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 14 lis 2010, o 21:10

piasek101,

To może ja dam takie zadanie

Dla jakich parametrów p i q równanie

\(\displaystyle{ x^3+px+q=0}\)

ma trzy pierwiastki rzeczywiste ?

Jak to zadanie rozwiążesz ?

Tutaj jedynka już nie jest pierwiastkiem i
twój tok rozumowania będzie do bani
jak sam to kiedyś napisałeś

Oczywiście do rozwiązania następującego zadania

karola1171 pisze:wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których wielomian \(\displaystyle{ w(x)= x ^{3}-mx+m-1}\) ma trzy pierwiastki.

twój tok rozumowania wystarczy ale gdy odrobinę je zmodyfikować
będzie "do bani"

Należysz do takich którzy odwracają kota ogonem.
Dajesz zupełnie inne zadanie - rozwiązuj go jak chcesz.

Ja tylko chciałem przedstawić sposób postępowania
w takich przypadkach (gdyby autorka tematu miała więcej podobnych zadań)
a ty przedstawiłeś sposób na rozwiązanie tylko tego konkretnego zadania

Twój sposób jest prostszy (bez skomplikowanych obliczeń)
ale nie można go uogólnić tzn dotyczy wąskiej grupy przypadków

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 14 lis 2010, o 21:16

mariuszm pisze:piasek101,
To może ja dam takie zadanie
Dla jakich parametrów p i q równanie
\(\displaystyle{ x^3+px+q=0}\)
ma trzy pierwiastki rzeczywiste ?
Jak to zadanie rozwiążesz ?
Tutaj jedynka już nie jest pierwiastkiem i
twój tok rozumowania będzie do bani
jak sam to kiedyś napisałeś

Należysz do takich którzy odwracają kota ogonem.
Dajesz zupełnie inne zadanie - rozwiązuj go jak chcesz.

Jakie było w tym wątku widać.
Sposób rozwiązania autor wybierze.
[edit] Poniższe dopisano jak już redagowałem posta.

mariuszm pisze:
Oczywiście do rozwiązania następującego zadania

karola1171 pisze:wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których wielomian \(\displaystyle{ w(x)= x ^{3}-mx+m-1}\) ma trzy pierwiastki.
twój tok rozumowania wystarczy ale gdy odrobinę je zmodyfikować
będzie "do bani"

I to potwierdza ogon.

Crizz · Post autor: **Crizz** » 14 lis 2010, o 21:53

piasek101, mariuszm - zanim którykolwiek z was napisze coś więcej w tym temacie, przypominam o punkcie II.7 regulaminu Forum. W temacie skupcie się na udzieleniu pomocy, możecie przecież przedstawić konkurencyjne rozwiązania uzupełniane o merytoryczne uwagi, ale dalszą część dyskusji, która coraz mniej dotyczy rozważanego zadania, proponuję przenieść na PW.