Kwadrat wielomianu.

Davdd · Post autor: **Davdd** » 19 lis 2006, o 18:22

Utknąłem przy jednym zadanku:

Dla jakich m i n wielomian: \(\displaystyle{ F(X)=x^{4}+mx^{3}-7x^{2}+nx+16}\) jest równy kwadratowi innego wielomianu.

Mozeby to jakos spierwiastkowac?!

setch · Post autor: **setch** » 19 lis 2006, o 18:49

\(\displaystyle{ W(x)=(ax^2+bx+c)^2=a^2x^4+2abx^3+(2ac+b^2)x^2+2bcx+c^2}\)
\(\displaystyle{ F(x)=W(x)}\)
\(\displaystyle{ x^{4}+mx^{3}-7x^{2}+nx+16=a^2x^4+2abx^3+(2ac+b^2)x^2+2bcx+c^2}\)
Dwa wielomiany sa rowne gdy wspolczynniki przy odpowiednich potegach sa sobie rowne
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a^2=1\\2ab=m\\2ac+b^2=-7\\2bc=n\\c^2=16\end{array}}\)
dalej juz chyba sobie poradzisz a mnie sie nie chce liczyc [=

Davdd · Post autor: **Davdd** » 19 lis 2006, o 18:58

No jasne, chodzi tylko o sposób, nie o rozwiązanie. Dzięki. Ja sobie zrobiłem (x^2+ax+b)^2, zmylil mnei troche brak tego wspolczynnika przy x^4, temu nei wyszlo. Pozdrawiam!

Calasilyar · Post autor: **Calasilyar** » 19 lis 2006, o 19:02

skoro F(x) jest kwadratem wielomianu, np. W(x), to W(x) musi byc stopnia 2. W takim razie:
\(\displaystyle{ F(x)=(W(x))^{2}\\
x^{4}+mx^{3}-7x^{2}+nx+16=(x^{2}+bx+c)^{2}}\)
nastepnie porównaj m, n z odpowiednimi współczynnikami z prawej strony...

oups.. nie odświeżyłem tematu

Davdd · Post autor: **Davdd** » 19 lis 2006, o 19:09

Fatycznie... coś namieszałem z oznaczeniami i nie wyszło. Thx