a) \(\displaystyle{ x^{4}-4x^{3}+ 8x^{2}-24x+12}\)
b) \(\displaystyle{ x^{3}-5x-4}\)
Pomoze mi ktos? Dawno sie juz w to nie bawilem i troche zapomnialem...
Znajdz pierwiastki wielomianu
-
adamglos92
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 19 paź 2010, o 11:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żory
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 12 razy
Znajdz pierwiastki wielomianu
Proponuję twierdzenie bezouta - najpierw wyznaczasz wszystkie dzielniki wyrazu wolnego [dla a) - 1,2,3,4,6,12; dla b) - 1,2,4) Następnie podstawiasz pod x każdy i sprawdzasz, czy wielomian wyjdzie zero - wtedy jest dzielnikiem. Jak znajdziesz pierwszy dzielnik, to masz dwie propozycję, albo podzielić wielomian, i dla niego szukać pierwiastków (będą to wspólne pierwiastki) albo szukać dalej tą samą metodą.
-
Adaśko
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 23 paź 2008, o 18:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: LO
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 2 razy
Znajdz pierwiastki wielomianu
Dzielnikiem w pierwszym przypadku nie jest liczba calkowita, korzystalem z maximi i pierwiastki sa pierwiastkami ;P tylko nie pamietam jak sie je wtedy wyznacza.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Znajdz pierwiastki wielomianu
a)
\(\displaystyle{ x^{4}-4x^{3}+ 8x^{2}-24x+12=0\\
x^{4}-4x^{3}=-8x^{2}+24x-12\\
x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=-4x^{2}+24x-12\\
\left( x^{2}-2x\right)^{2}= -4x^{2}+24x-12\\
\left( x^{2}-2x+ \frac{y}{2} \right)^{2}=\left( y-4\right)x^{2}+\left( -2y+24\right)x+ \frac{y^{2}}{4}-12\\
\left( 2y-24\right)^{2}=\left( y^{2}-48\right)\left( y-4\right)\\
4y^{2}-96y+576=y^{3}-4y^{2} -48y+192\\
y^{3}-8y^{2}+48y-384=0\\
\left( y-8\right)\left( y^{2}+48\right)=0\\
\left( x^{2}-2x+4\right)^{2}=4x^{2}+8x+4\\
\left( x^{2}-2x+4\right)^{2}=\left( 2x+2\right)^2\\
\left( x^{2}-2x+4\right)^{2}-\left( 2x+2\right)^2=0\\
\left( x^{2}-2x+4-2x-2\right)\left( x^{2}-2x+4+2x+2\right)=0\\
\left( x^{2}-4x+2\right)\left( x^{2}+6\right)=0}\)
W tym przypadku też nie byłoby trudno pogrupować wyrazy
b)
Tutaj najprościej pogrupować wyrazy
\(\displaystyle{ x^{3}-5x-4=0\\
x^{3}-x-4x-4=0\\
x\left( x^{2}-1\right)-4\left( x+1\right)=0\\
\left( x+1\right)\left( x^{2}-x-4\right)=0}\)
W ogólnym przypadku jeżeli masz równanie
\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
to podstawiasz \(\displaystyle{ y=u+v}\)
to co dostaniesz grupujesz aby otrzymać wzory Viete'a
równania drugiego stopnia
\(\displaystyle{ x^{4}-4x^{3}+ 8x^{2}-24x+12=0\\
x^{4}-4x^{3}=-8x^{2}+24x-12\\
x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=-4x^{2}+24x-12\\
\left( x^{2}-2x\right)^{2}= -4x^{2}+24x-12\\
\left( x^{2}-2x+ \frac{y}{2} \right)^{2}=\left( y-4\right)x^{2}+\left( -2y+24\right)x+ \frac{y^{2}}{4}-12\\
\left( 2y-24\right)^{2}=\left( y^{2}-48\right)\left( y-4\right)\\
4y^{2}-96y+576=y^{3}-4y^{2} -48y+192\\
y^{3}-8y^{2}+48y-384=0\\
\left( y-8\right)\left( y^{2}+48\right)=0\\
\left( x^{2}-2x+4\right)^{2}=4x^{2}+8x+4\\
\left( x^{2}-2x+4\right)^{2}=\left( 2x+2\right)^2\\
\left( x^{2}-2x+4\right)^{2}-\left( 2x+2\right)^2=0\\
\left( x^{2}-2x+4-2x-2\right)\left( x^{2}-2x+4+2x+2\right)=0\\
\left( x^{2}-4x+2\right)\left( x^{2}+6\right)=0}\)
W tym przypadku też nie byłoby trudno pogrupować wyrazy
b)
Tutaj najprościej pogrupować wyrazy
\(\displaystyle{ x^{3}-5x-4=0\\
x^{3}-x-4x-4=0\\
x\left( x^{2}-1\right)-4\left( x+1\right)=0\\
\left( x+1\right)\left( x^{2}-x-4\right)=0}\)
W ogólnym przypadku jeżeli masz równanie
\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
to podstawiasz \(\displaystyle{ y=u+v}\)
to co dostaniesz grupujesz aby otrzymać wzory Viete'a
równania drugiego stopnia
-
adamglos92
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 19 paź 2010, o 11:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żory
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 12 razy
Znajdz pierwiastki wielomianu
Zapomniałem powiedzieć o ujemnych:) masz rację:) Teoretycznie jeszcze można by szukać jeszcze ułamków, ale tutaj dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze to 1 więc nie ma to sensu:)