dziwny wielomian

[Mariusz M]

a co to za metoda? :>

Wielomian czwartego stopnia rozkładasz na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

Przenosisz trójmian kwadratowy na drugą stronę
Aby sprowadzić lewą stronę do kwadratu dodajesz stronami
odpowiedni wyraz (zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy)
Prawa strona będzie kwadratem gdy jej wyróżnik będzie równy zero
Aby sprowadzić prawą stronę do kwadratu wprowadzamy nową niewiadomą
tak aby lewa strona była nadal kwadratem
(dodajemy stronami odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy)
Liczymy wyróżnik prawej strony i przyrównujemy go do zera
Dostajemy w ten sposób równanie trzeciego stopnia względem wprowadzonej niewiadomej
Znajdujesz pierwiastek tego równania (wystarczy jeden)
Równanie trzeciego stopnia możesz sprowadzić do równania kwadratowego
odpowiednimi podstawieniami

Wstawiasz obliczoną niewiadomą do równania czwartego stopnia
Teraz gdy obie strony są kwadratami korzystasz ze wzoru skróconego
mnożenia na różnicę kwadratów i otrzymujesz iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

Obliczenia mogą być dość skomplikowane ale nie zawsze

Do metody Ferrariego przydają się

wzory skróconego mnożenia
wzory Viete'a
co nieco o liczbach zespolonych
a także może się przydać twierdzenie Bezout

[karola1171]

do mariuszm jesteś zajebisty ale już na samym początku nie mam dwóch trójmianów kwadratowych ;( mógłby mi pomóc może ktoś z innych forumowiczów rozgryżć metodę mariusza? ;>

[Mariusz M]

karola1171,

Masz wielomian

\(\displaystyle{ 4 x^{4} -8 x^{2} +x - \sqrt{2} =0}\)

i chcesz użyć metody Ferrariego

Najpierw przenosisz trójmian kwadratowy na drugą stronę w ten sposób

\(\displaystyle{ 4 x^{4}= 8 x^{2} -x + \sqrt{2} =0}\)

Lewa strona już jest kwadratem

Aby prawa strona była kwadratem to jej wyróżnik musi być równy zero

Wprowadzasz nową niewiadomą aby lewa strona nadal była kwadratem
dodajesz stronami odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia
na kwadrat sumy

\(\displaystyle{ \left( 2x^2+ \frac{y}{2} \right)^{2} = \left( 2y+8\right) x^{2} -x + \frac{y^2}{4} + \sqrt{2} =0}\)

Obliczamy teraz wyróżnik prawej strony równania i przyrównujemy go do zera

\(\displaystyle{ 1=\left(y^2+4 \sqrt{2} \right)\left( 2y+8\right) \\
2y^3+8y^2+8 \sqrt{2}y+32 \sqrt{2}-1=0}\)

Teraz trzeba rozwiązać to równanie trzeciego stopnia
(wystarczy znaleźć jeden pierwiastek)
i skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów
Otrzymasz wtedy iloczyn dwóch trójmianów
W tym przypadku prościej będzie jednak grupować wyrazy