Problem z równaniem wielomianowym

gertych · Post autor: **gertych** » 8 lis 2010, o 18:13

Mam taki przykład:

\(\displaystyle{ x ^{4} + 3x ^{3} - 5x ^{2} - 12x + 4 = 0}\)

Wychodzi z tego, że \(\displaystyle{ (x - 2)(x^{3} + 5x^{2} + 5x - 2) = 0}\)

więc \(\displaystyle{ x=2}\) lub \(\displaystyle{ (x^{3} + 5x^{2} + 5x - 2) = 0}\)

za cholerę nie chce mi to wyjść i proszę Was o pomoc, w ogóle mi to nie wychodzi, a kombinuję z godzinę

najlepiej gdyby ktoś podał wszystkie etapy liczenia, jeśli popełniłem błąd, proszę poprawić

Pozdrawiam

wawek91 · Post autor: **wawek91** » 8 lis 2010, o 18:26

Sprobuj tabelką hornera. Podpowiem że -2 bedzie pierwiastkiem.

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 8 lis 2010, o 18:31

To trzeba dalej rozkładać na czynniki tzn.

\(\displaystyle{ ...=(x-2)(x+2)(x ^{2}+3x-1)=... \ liczysz\ delte\ i\ pierwiastki\ itd.}\)

gertych · Post autor: **gertych** » 8 lis 2010, o 18:58

kropka+, Jak to sprowadziłeś/aś do takiej postaci? Na lekcji babka uczyła nas, że wypisuję dzielniki wyrazu wolnego, potem sprawdzam dla którego dzielnika funkcja jest równa 0, następnie dzielę wielomian przez x-a tj. gdy x=2 to dzielę przez x-2
Podaj jakiś sprytny sposób jak do tego dojść

Pozdrawiam

wawek91 · Post autor: **wawek91** » 8 lis 2010, o 19:08

Nie ma sprytnego sposobu tylko własnie tak jak mowisz. I wkońcu przy sprawdzaniu dojdziesz do tego że kolejnym pierwiastkiem jest -2.

gertych · Post autor: **gertych** » 8 lis 2010, o 19:40

tylko, że przy sprawdzaniu, mi to nie wyszło, mógłbyś wypisać wszystkie etapy liczenia

Byłbym niezmiernie Wdzięczny

Pozdrawiam

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 8 lis 2010, o 19:54

Do wielomianu

\(\displaystyle{ x^{3} + 5x^{2} + 5x - 2}\)

podstawiam x = -2 (jako dzielnik wyrazu wolnego -2) i wyliczam: -8 +20 -10 -2 = 0, czyli x=-2 jest pierwiastkiem tego wielomianu, więc dzielę wielomian przez (x + 2), żeby go rozłożyć na czynniki i otrzymuję

\(\displaystyle{ x ^{2}+3x-1}\)

wawek91 · Post autor: **wawek91** » 8 lis 2010, o 19:55

skorzystaj z tego, to jest to o czym pisałem kilka postów wyżej

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 8 lis 2010, o 22:04

gertych, możesz też w ten sposób

\(\displaystyle{ x ^{4} + 3x ^{3} - 5x ^{2} - 12x + 4 = 0\\
x ^{4} + 3x ^{3}=5x ^{2} + 12x - 4\\
x ^{4} + 3x ^{3}+ \frac{9}{4}x^2 = \frac{29}{4} x ^{2} + 12x - 4\\
\left( x^{2}+ \frac{3}{2}x \right)^{2}= \frac{29}{4} x ^{2} + 12x - 4\\
\left( x^{2}+ \frac{3}{2}x + \frac{y}{2} \right)^{2}= \left( y+\frac{29}{4}\right) x ^{2} +\left( \frac{3}{2} y+12\right) x + \frac{y^{2}}{4} - 4\\
\left( \frac{3}{2} y+12\right)^2=\left( y^{2}-16\right)\left( y+ \frac{29}{4} \right) \\
\frac{9}{4}y^{2}+36y+144=y^{3}+ \frac{29}{4}y^{2}-16y-116\\
y^{3}+5y^{2}-52y-260=0\\
\left( y+5\right)\left(y^2-52 \right)=0\\
y=-5\\
\left( x^{2}+ \frac{3}{2}x- \frac{5}{2} \right)^{2}= \frac{9}{4}x^2+ \frac{9}{2}x+ \frac{9}{4}\\
\left( x^{2}+ \frac{3}{2}x- \frac{5}{2} \right)^{2}= \left( \frac{3}{2}x+ \frac{3}{2} \right)^{2} \\
\left( x^{2}+ \frac{3}{2}x- \frac{5}{2} \right)^{2}- \left( \frac{3}{2}x+ \frac{3}{2} \right)^{2} =0\\
\left(x^{2}+ \frac{3}{2}x- \frac{5}{2}- \frac{3}{2}x- \frac{3}{2} \right)\left(x^{2}+ \frac{3}{2}x- \frac{5}{2}+ \frac{3}{2}x+ \frac{3}{2} \right)=0\\
\left( x^{2}-4\right)\left( x^{2}+3x-1\right)=0}\)

Sposób ten jest przydatny gdy nie ma pierwiastka wśród dzielników wyrazu wolnego
oraz gdy nie chce się Tobie ich szukać