zadania z wielomianami

[bamboszsz]

prosze o pomoc w kilku zadaniach z wielomianami:

Wykaż, że równanie \(\displaystyle{ 5 x^{4}-4 x^{2}+ \sqrt{3} -1=0}\) ma cztery różne pierwiastki.

Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ \frac{8x ^{3} }{3-x} \ge x+3}\)

Dla jakich wrtości parametru \(\displaystyle{ m}\) wielomian \(\displaystyle{ w(x)= (x-1)(x ^{2} +mx+1)}\) ma trzy pierwiastki, których suma jest większa od jeden?

z góry dzięki

[Jezalov]

Wykaż, że równanie \(\displaystyle{ 5 x^{4}-4 x^{2}+ \sqrt{3} -1=0}\) ma cztery różne pierwiastki.

wykorzystaj zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=x^2}\)

Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ \frac{8x ^{3} }{3-x} \ge x+3}\)

przerzuć wszystko na lewą stronę sprowadź do wspólnego mianownika i rozwiąż

Dla jakich wrtości parametru \(\displaystyle{ m}\) wielomian \(\displaystyle{ w(x)= (x-1)(x ^{2} +mx+1)}\) ma trzy pierwiastki, których suma jest większa od jeden?

Jedno miejsce zerowe możesz odczytać z pierwszego nawiasu i jest to \(\displaystyle{ x=1}\)
dodatkowo wielomian ten mam mieć 3 pierwiastki będzie to możliwe jeśli \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\). Dodatkowo suma trzech pierwiastków ma być większa od 1 więc
\(\displaystyle{ x_1+x_2+1>1 \rightarrow x_1+x_2>0}\)

[bamboszsz]

niestety mimo podstawienia t za \(\displaystyle{ x^{2}}\) nie udało mi sie otrzymac tych czterech różnych pierwistków. czy ktoś mógłby jeszcze bardziej przybliżyć odpowiedz?

[Jezalov]

Zauważ, żeby to równanie miało 4 różne pierwiastki to \(\displaystyle{ \Delta}\) z równania
\(\displaystyle{ 5t^2-4t+\sqrt{3}-1=0}\), musi być większa od \(\displaystyle{ 0}\), oraz \(\displaystyle{ t_{1}}\) i \(\displaystyle{ t_{2}}\) muszą być \(\displaystyle{ \ge 0}\) ponieważ \(\displaystyle{ t=x^2}\)

[silversurfer]

frac{8x ^{3} }{3-x} ge x+3

Może coś takiego...?
\(\displaystyle{ \frac{8x ^{3} - (x-3)(3-x) } {3-x} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{8x ^{3} - x ^{2} - 9 }{3-x} \ge 0}\)

[bamboszsz]

dzięki z tym już sobie poradziłam, jednak cały czas mam problem z pierwszym z wymienionych.

[piasek101]

oraz \(\displaystyle{ t_{1}}\) i \(\displaystyle{ t_{2}}\) muszą być \(\displaystyle{ \ge 0}\) ponieważ \(\displaystyle{ t=x^2}\)

Bez ,,=".

[bamboszsz]

niestety i to mi nie pomaga w rozwiązaniu tego zadania;/

[piasek101]

Podstawiasz (zgodnie z podpowiedzią). Otrzymane kwadratowe ma mieć dwa różne (delta); dodatnie (wzory Viete'a) rozwiązania.

[bamboszsz]

coś mi wychodzi tylko niestety nie mogę sprawdzić czy jest to poprawnie, ponieważ nie mam odpowiedzi do tych zadań, więc moja odpowiedz może być błędna.

[piasek101]

Pokazujesz co masz - ktoś sprawdzi.

[Mariusz M]

bamboszsz, to jest zadanie wykaż że
więc jakiej odpowiedzi oczekujesz

Wyróżnik dodatni,
wzory Viete'a dodatnie,
zatem stwierdzenie iż dane równanie ma cztery różne pierwiastki
jest prawdziwe