Wielomian stopnia 4, jak go rozbić

[nietopereek]

Witam mam problem z rozbiciem wielomianu 4 stopnia na iloczyn mnożenia dwóch wielomianów stopnia drugiego.
\(\displaystyle{ x^4-3x^2+9}\)
Wiem, że odpowiedzią będzie
\(\displaystyle{ (x^2 -3x +3 ) (x^2+3x+3)}\)
ale nie wiem jak do tego dojść by w przyszłości umieć coś takiego rozwiązać. Byłbym wdzięczny jakby ktoś powiedział mi jak dojść do takiego czegoś.
Pozdrawiam-- 4 listopada 2010, 18:36 --

[Vax]

Równanie bikwadratowe, zredukuj je do trójmianu kwadratowego tworząc podstawienie \(\displaystyle{ x^2=t > 0}\)

Chociaż po podstawieniu otrzymamy równanie kwadratowe z ujemną deltą, więc można je zrobić w ten sposób, równanie 4 stopnia można przedstawić w postaci iloczynu 2 trójmianów kwadratowych:

\(\displaystyle{ x^4-3x^2+9 = (x^2+bx+c)(x^2+dx+e)}\)

Należy zauważyć, że przy najwyższej potędze mamy 1, więc tak samo jest w iloczynie, następnie można założyć, że \(\displaystyle{ c=3 \wedge e=3}\), więc nasz iloczyn przyjmuje postać:

\(\displaystyle{ (x^2+bx+3)(x^2+dx+3)}\)

Po chwili zauważamy, że b i d muszą być równe \(\displaystyle{ b=-3 \wedge d=3}\), więc nasz iloczyn ma postać:

\(\displaystyle{ (x^2-3x+3)(x^2+3x+3)}\)

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ x^4-3x^2+9=0\\
x^4=3x^2-9\\
\left( x^2+ \frac{y}{2} \right)=\left( y+3\right)x^2+ \frac{y^2}{4}-9\\
0=\left( y+3\right)\left( y^2-36\right) \\
y=6}\)

\(\displaystyle{ \left( x^2+3\right)^2=9x^2\\
\left( x^2+3\right)^2-9x^2=0\\
\left( x^2-3x+3\right) \left( x^2+3x+3\right)=0}\)