Witam mam problem z rozbiciem wielomianu 4 stopnia na iloczyn mnożenia dwóch wielomianów stopnia drugiego.
\(\displaystyle{ x^4-3x^2+9}\)
Wiem, że odpowiedzią będzie
\(\displaystyle{ (x^2 -3x +3 ) (x^2+3x+3)}\)
ale nie wiem jak do tego dojść by w przyszłości umieć coś takiego rozwiązać. Byłbym wdzięczny jakby ktoś powiedział mi jak dojść do takiego czegoś.
Pozdrawiam-- 4 listopada 2010, 18:36 --
Wielomian stopnia 4, jak go rozbić
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 23 gru 2008, o 12:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sulęczyno
- Podziękował: 2 razy
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wielomian stopnia 4, jak go rozbić
Równanie bikwadratowe, zredukuj je do trójmianu kwadratowego tworząc podstawienie \(\displaystyle{ x^2=t > 0}\)
Chociaż po podstawieniu otrzymamy równanie kwadratowe z ujemną deltą, więc można je zrobić w ten sposób, równanie 4 stopnia można przedstawić w postaci iloczynu 2 trójmianów kwadratowych:
\(\displaystyle{ x^4-3x^2+9 = (x^2+bx+c)(x^2+dx+e)}\)
Należy zauważyć, że przy najwyższej potędze mamy 1, więc tak samo jest w iloczynie, następnie można założyć, że \(\displaystyle{ c=3 \wedge e=3}\), więc nasz iloczyn przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ (x^2+bx+3)(x^2+dx+3)}\)
Po chwili zauważamy, że b i d muszą być równe \(\displaystyle{ b=-3 \wedge d=3}\), więc nasz iloczyn ma postać:
\(\displaystyle{ (x^2-3x+3)(x^2+3x+3)}\)
Pozdrawiam.
Chociaż po podstawieniu otrzymamy równanie kwadratowe z ujemną deltą, więc można je zrobić w ten sposób, równanie 4 stopnia można przedstawić w postaci iloczynu 2 trójmianów kwadratowych:
\(\displaystyle{ x^4-3x^2+9 = (x^2+bx+c)(x^2+dx+e)}\)
Należy zauważyć, że przy najwyższej potędze mamy 1, więc tak samo jest w iloczynie, następnie można założyć, że \(\displaystyle{ c=3 \wedge e=3}\), więc nasz iloczyn przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ (x^2+bx+3)(x^2+dx+3)}\)
Po chwili zauważamy, że b i d muszą być równe \(\displaystyle{ b=-3 \wedge d=3}\), więc nasz iloczyn ma postać:
\(\displaystyle{ (x^2-3x+3)(x^2+3x+3)}\)
Pozdrawiam.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wielomian stopnia 4, jak go rozbić
\(\displaystyle{ x^4-3x^2+9=0\\
x^4=3x^2-9\\
\left( x^2+ \frac{y}{2} \right)=\left( y+3\right)x^2+ \frac{y^2}{4}-9\\
0=\left( y+3\right)\left( y^2-36\right) \\
y=6}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+3\right)^2=9x^2\\
\left( x^2+3\right)^2-9x^2=0\\
\left( x^2-3x+3\right) \left( x^2+3x+3\right)=0}\)
x^4=3x^2-9\\
\left( x^2+ \frac{y}{2} \right)=\left( y+3\right)x^2+ \frac{y^2}{4}-9\\
0=\left( y+3\right)\left( y^2-36\right) \\
y=6}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+3\right)^2=9x^2\\
\left( x^2+3\right)^2-9x^2=0\\
\left( x^2-3x+3\right) \left( x^2+3x+3\right)=0}\)