Zad1.
Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x^{4}+2(m-2)x^{2}+m^{2}-1=0}\) ma dwa róźne pierwiastki ?
Zad. 2
Liczba -1 jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^{3}+(p+1)x^{2}+(p-3)x-3=0}\). Wyznacz wartosc parametru p, wiedzac, że dany pierwiastek jest średnią arytmetyczną pozostałych.
Z góry dzieki za pomoc, bo nie mam pomyslu jak rozwiązac te zadania
2 zadania z parametrem
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
2 zadania z parametrem
Zad.1
Ogólnie, dla równania \(\displaystyle{ ax^4 +bx^2 + c=0}\) sposób postępowania jest taki:
Podstawiamy w tym równaniu dwukwadratowym \(\displaystyle{ x^2=t}\), gdzie \(\displaystyle{ t>0}\) i otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ at^2 +bt+c=0}\), które ma jeden pierwiastek dodatni, gdy spełniona jest alternatywa warunków:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a=0 \\b \neq 0 \\ -\frac{c}{b}>0 \end{array} \vee \left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta=0 \\ -\frac{b}{2a}>0 \end{array} \vee \left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta>0 \\ \frac{c}{a}}\)
Zad.2
\(\displaystyle{ x^3 + (p+1)x^2 +(p-3)x - 3=0 \\ x^3 + px^2 +x^2 + px -3x-3=0 \\ x^3 +x^2 + px^2 + px -(3x+3)=0 \\ x^2(x+1) + px(x+1) -3(x+1)=0 \\ (x+1)(x^2 +px -3)=0 \\ x+1=0 \vee x^2+px -3=0}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ x_{1}=-1}\) jest orzwiązanie pierwszego równania oraz \(\displaystyle{ x_{2}=\frac{-p- \sqrt{p^2 + 12}}{2}}\) i \(\displaystyle{ x_{3}=\frac{-p+ \sqrt{p^2 +12}}{2}}\) drugiego równania, to warunek zadania jest spełniony, gdy \(\displaystyle{ x_{2} }\) lub \(\displaystyle{ x_{2}}\).
Czyli \(\displaystyle{ x_{1}=\frac{x_{2} + x_{3}}{2}}\) lub \(\displaystyle{ x_{3}= \frac{x_{2}+x_{1}}{2}}\).
Korzystając z wzorów Viete'a dla sumy pierwiastków \(\displaystyle{ x_{2}+x_{3}}\) otrzymamy \(\displaystyle{ p=2}\).
Odpowiedzą jest więc \(\displaystyle{ p=2}\).
Ogólnie, dla równania \(\displaystyle{ ax^4 +bx^2 + c=0}\) sposób postępowania jest taki:
Podstawiamy w tym równaniu dwukwadratowym \(\displaystyle{ x^2=t}\), gdzie \(\displaystyle{ t>0}\) i otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ at^2 +bt+c=0}\), które ma jeden pierwiastek dodatni, gdy spełniona jest alternatywa warunków:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a=0 \\b \neq 0 \\ -\frac{c}{b}>0 \end{array} \vee \left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta=0 \\ -\frac{b}{2a}>0 \end{array} \vee \left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta>0 \\ \frac{c}{a}}\)
Zad.2
\(\displaystyle{ x^3 + (p+1)x^2 +(p-3)x - 3=0 \\ x^3 + px^2 +x^2 + px -3x-3=0 \\ x^3 +x^2 + px^2 + px -(3x+3)=0 \\ x^2(x+1) + px(x+1) -3(x+1)=0 \\ (x+1)(x^2 +px -3)=0 \\ x+1=0 \vee x^2+px -3=0}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ x_{1}=-1}\) jest orzwiązanie pierwszego równania oraz \(\displaystyle{ x_{2}=\frac{-p- \sqrt{p^2 + 12}}{2}}\) i \(\displaystyle{ x_{3}=\frac{-p+ \sqrt{p^2 +12}}{2}}\) drugiego równania, to warunek zadania jest spełniony, gdy \(\displaystyle{ x_{2} }\) lub \(\displaystyle{ x_{2}}\).
Czyli \(\displaystyle{ x_{1}=\frac{x_{2} + x_{3}}{2}}\) lub \(\displaystyle{ x_{3}= \frac{x_{2}+x_{1}}{2}}\).
Korzystając z wzorów Viete'a dla sumy pierwiastków \(\displaystyle{ x_{2}+x_{3}}\) otrzymamy \(\displaystyle{ p=2}\).
Odpowiedzą jest więc \(\displaystyle{ p=2}\).