Zadania z Parametrem

[FK]

dla jakich wartości parametru m \(\displaystyle{ W(x)=2x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+10x+m}\) ma pierwiastek trzykrotny?


Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(m-4)x^{3}-(m+6)x^{2}-(m-1)x+m+3}\) jest podzielny przez dwumian x+1 dla jakich wartości parametru m wielomian W ma dokładnie dwa pierwiaski?

[Lorek]

1. Przyjmijmy, że a to jest pierwiastek 3-krotny, b - czwarty pierwiastek, wtedy z wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ 3a+b=1\\3a^2+3ab=-3\\a^3+3a^2b=-5\\m=2a^3b}\)
Z pierwszych 3 równań wyliczysz a,b a potem tylko wstawić do 4.
2. Domyślam się, że ten wielomian ma mieć 2 różne pierwiastki (tzn. jeden podwójny, innej możliwości zresztą nie ma ). Skoro wielomian jest podzielny przez (x+1), to można go zapisać jako
\(\displaystyle{ W(x)=(x+1)[(m-4)x^2-(2m+2)x+m+3]}\)
aby miał 2 pierwiastki, to trójmian
\(\displaystyle{ P(x)=(m-4)x^2-(2m+2)x+m+3}\)
musi mieć jeden pierwiastek różny od -1 lub 2 pierwiastki, z których jeden jest równy -1

[FK]

w jaki sposób przeksztalciłes wielomian do takiej postaci

\(\displaystyle{ W(x)=(x+1)[(m-4)x^2-(2m+2)x+m+3]}\)

[Lorek]

Podziel \(\displaystyle{ (m-4)x^3-(m+6)x^2-(m-1)x+m+3}\) przez \(\displaystyle{ (x+1)}\) (np. Hornerem.)

[setch]

I nastepnie skorzystaj z twierdzenia Bezout