Wyznacz wzór wielomianu
-
Tolasz
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 4 wrz 2008, o 19:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 9 razy
Wyznacz wzór wielomianu
Dany jest wielomian trzeciego stopnia o współ. \(\displaystyle{ 1}\) przy najwyższej potędze. Pierwiastki tego wielomianu tworzą rosnący ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(\displaystyle{ 4}\). Suma pierwiastków wielomianu jest równa \(\displaystyle{ 19}\). Wyznacz wzór tego wielomianu
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wyznacz wzór wielomianu
Zauważmy, że aby dane liczby tworzyły ciąg geometryczny, musi być ich min. 3, tak więc wielomian ma 3 miejsca zerowe, dodatkowo wiemy, że tworzą one ciąg geometryczny, których suma wynosi 19, oraz pierwszy wyraz jest równy 4:
\(\displaystyle{ 4+4q+4q^2=19}\)
\(\displaystyle{ 4q^2+4q-15=0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 16}\)
\(\displaystyle{ q = -\frac{5}{2} \vee q=\frac{3}{2}}\)
Skoro ciąg ma być rosnący, jedynym rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ q=\frac{3}{2}}\)
Wyznaczmy pozostałe miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ 4 \cdot \frac{3}{2} = 6}\)
\(\displaystyle{ 4 \cdot \frac{9}{4} = 9}\)
Tak więc wielomian ten, można zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-4)(x-6)(x-9)}\)
Po wymnożeniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ W(x)=x^3-19x^2+114x-216}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ 4+4q+4q^2=19}\)
\(\displaystyle{ 4q^2+4q-15=0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 16}\)
\(\displaystyle{ q = -\frac{5}{2} \vee q=\frac{3}{2}}\)
Skoro ciąg ma być rosnący, jedynym rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ q=\frac{3}{2}}\)
Wyznaczmy pozostałe miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ 4 \cdot \frac{3}{2} = 6}\)
\(\displaystyle{ 4 \cdot \frac{9}{4} = 9}\)
Tak więc wielomian ten, można zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-4)(x-6)(x-9)}\)
Po wymnożeniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ W(x)=x^3-19x^2+114x-216}\)
Pozdrawiam.