Nierówność i równanie

[taffer]

\(\displaystyle{ \frac{x^{3}+x ^{2}+2 }{x ^{2}+x-2} < \frac{2}{(x-1)^{2}}}\)

Nie wiem za bardzo jak rozwiązywać takie nierówności, wiem, że zaczynamy od wyznaczenia dziedziny, więc mam R/(-2, 1)
I co dalej? Chyba nie mogę sobie na krzyż wymnożyć jak w przypadku równań? A nawet jeśli to jaki będzie pierwiastek z
\(\displaystyle{ (x^{3}+x^{2}+2)}\)

**********
takie równanie

\(\displaystyle{ x^{3}-6x+3=0}\)

nie wiem jak to przekształcić by odczytać pierwiastki

tak w ogóle to kiedy działa ta metoda z dzielnikami wyrazu wolnego i współczynnika przy najwyższej potędze? bo np w tym wypadku nie działa...

[anna_]

1. Przenieś wszystko na lewą stronę, sprowadź do wspólnego mianownika

2. Sprawdź czy dobrze przepisałeś równanie.

[Vax]

1) \(\displaystyle{ \frac{x^3+x^2+2}{x^2+x-2} - \frac{2}{(x-1)^2} < 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^3+x^2+2}{(x+2)(x-1)} - \frac{2}{(x-1)^2} < 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{(x-1)(x^3+x^2+2)-2(x+2)}{(x-1)^2(x+2)} < 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^4+x^3+2x-x^3-x^2-2-2x-4}{(x-1)^2(x+2)} < 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^4-x^2-6}{(x-1)^2(x+2)} < 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{(x^2-3)(x^2+2)}{(x-1)^2(x+2)} < 0}\)

\(\displaystyle{ (x^2-3)(x^2+2)(x-1)^2(x+2) < 0}\)

\(\displaystyle{ x\in (-\infty ; -2) \cup (-\sqrt{3} ; 1) \cup (1 ; \sqrt{3})}\)

Pozdrawiam.

[taffer]

wielkie dzieki

2. Sprawdź czy dobrze przepisałeś równanie.

Jestem pewien.
Całe zadanie brzmi tak:

Wiedząc, że równanie \(\displaystyle{ x^{3}-6x+3=0}\) ma trzy pierwiastki x1, x2, x3 oblicz

\(\displaystyle{ (x1)^{2}+(x2)^{2}+(x3)^{2}}\)

[Vax]

Skoro wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3-6x+3}\) ma 3 pierwiastki, możemy go zapisać tak:

\(\displaystyle{ W(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\)

U nas współczynnik a=1, więc mamy:

\(\displaystyle{ W(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\)

Po wymnożeniu i uporządkowaniu wyrazów otrzymamy:

\(\displaystyle{ W(x)=x^3+x^2(-x_2-x_1-x_3)+x(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)-x_1x_2x_3}\)

Tak więc porównując poszczególne współczynniki, powstaje nam układ równań:


\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3=0\\x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-6\\-x_1x_2x_3=3 \end{array}}\)

Mamy 3 równania, 3 niewiadome, z tego już bez problemu wyznaczysz, to, czego wymagają w zadaniu:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3=0 /^2\\x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-6/\cdot 2\\-x_1x_2x_3=3 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3=0\\2x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3=-12\\-x_1x_2x_3=3 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_1^2+x_2^2+x_3^2=12\\x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-6\\-x_1x_2x_3=3 \end{array}}\)

Czyli mamy:

\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2+x_3^2=12}\)


Pozdrawiam.

[piasek101]

Ok, tylko po co.
\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(...)=}\)

Ps. Do autora - zadanie z pierwszego posta jest (jak widzisz) dużo trudniejsze niż oryginalne - szanuj nas.

[edit] Poprzedni post został poprawiony - dopisano całą jego końcową część - jak pisałem swój @Vax chciał obliczać pierwiastki.