rozwiąż równanie wielomianowe

[sea_of_tears]

\(\displaystyle{ x^3 + x + 3 = 0}\)

[Afish]

Wzory znasz?

[sea_of_tears]

jakie wzory masz na myśli?

[piasek101]

Prawdopodobniwe Cardano.

[sea_of_tears]

tego typu wzory odpadają, więc albo jest jakis myk na to równanie albo jest błąd w przykładzie :/

[piasek101]

Skoro ma jeden ,,śmieszny" pierwiastek to o myk trudno.

[Mariusz M]

sea_of_tears,

Podstaw

\(\displaystyle{ x=u+v}\)

i pogrupuj wyrazy a dostaniesz coś co będzie
przypominało wzory Viete'a równania kwadratowego a stąd już będzie prosto

Możesz też podstawić

\(\displaystyle{ x=u- \frac{1}{3u}}\)

a powinnaś/powinieneś dostać równanie kwadratowe
(tak właściwie równanie szóstego stopnia ale sprowadzalne do kwadratowego
można by rzec trójkwadratowe)

Gdy użyjesz tego drugiego podstawienia to otrzymasz pierwiastek w postaci

\(\displaystyle{ x=- \frac{ \sqrt[3]{324+4 \sqrt{6669} } }{6}+ \frac{2}{ \sqrt[3]{324+4 \sqrt{6669} } }}\)

Gdy użyjesz tego pierwszego podstawienia to otrzymasz pierwiastek w postaci

\(\displaystyle{ x= \frac{1}{6} \left( \sqrt[3]{-324+4 \sqrt{6669} }+ \sqrt[3]{-324-4 \sqrt{6669} } \right)}\)


Stosując pierwsze podstawienie nie musisz uważać na zerowe pierwiastki
jednak nie prowadzi ono bezpośrednio do równania kwadratowego
(aby otrzymać równanie kwadratowe korzystasz z wzorów Viete'a)
Stosując drugie podstawienie doprowadzi Ciebie ono do równania
trójkwadratowego a więc prostszego do rozwiązania ale musisz
jednak uważać na zerowe pierwiastki

Programy takie jak Maple używają tego drugiego podstawienia jednak ja wolę używać
tego pierwszego podstawienia

Aby znaleźć pozostałe pierwiastki korzystasz albo z zespolonych
pierwiastków z jedynki albo z twierdzenia Bezout

Jak masz równanie

\(\displaystyle{ x^3+px+q=0}\)

to używasz jednego z dwóch podstawień

\(\displaystyle{ x=u+v}\)

albo

\(\displaystyle{ x=u- \frac{p}{3u}}\)