Zadania z wielomianów

[budziq]

Serdecznie proszę o zrobienie tych zadań, gdyż sam sobie nie poradzę, a muszę mieć to zrobione na jutro :/


1. Oblicz sumę kwadratów wszystkich pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^4- \pi x^2 + \sqrt{2}}\).

2. Znajdź wszystkie liczby niewymierne a takie, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w(x)= x^3 - 4x^2 +x+4}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x+a}\) jest równa \(\displaystyle{ a}\).

3. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ x}\) wartość wielomianu \(\displaystyle{ w(x)= x^5 - 5x^3 + 4x}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 120}\).

4. Uzasadnij, że równanie \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=2009^3}\) nie ma pierwiastków całkowitych.

5. Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x^4+ 2x^2 +26 > 2x^3 + 10x}\).

6. Rozłóż na czynniki wielomian \(\displaystyle{ w(x)= x^8 -1}\)

7. Rozłóż na czynniki wielomian \(\displaystyle{ w(x)= (x^3 + x + 1)^4 - 2(x^3+ x + 1)^2 (x^2 + x +1)^2 + (x^2 + x+ 1)^4}\).

8. Wyznacz parametry \(\displaystyle{ a,b,c}\) tak, aby wielomiany \(\displaystyle{ p(x)= 2x^3 + ax^2 + 5x+b+c}\) i \(\displaystyle{ q(x)= (b-3)x^3 + ax^2 + (2a+c)x+4}\) były równe.

9. Dany jest trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ f(x)=ax^2 + bx+c}\) . Wyznacz współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\), jeśli suma pierwiastków tego wielomianu jest równa \(\displaystyle{ -5}\), ich iloczyn wynosi \(\displaystyle{ 3}\), a suma wszystkich trzech współczynników jest równa \(\displaystyle{ 27}\).

10. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x^3 + 2x +5}\). Wykaż, że wielomian \(\displaystyle{ p(x)= w(x+1)-w(x)}\) nie ma miejsc zerowych.

Przepraszam że pisałem jak się czyta, ale nie wiem jak pisze się potęgi, pi, pierwiastki itd.
Z góry dzięki za pomoc!

[piasek101]

3) \(\displaystyle{ w(x)=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)}\)

9) Wzory Viete'a.

[mikrobart]

8.
Wielomiany są równe wtedy, gdy ich współczynniki przy danych potęgach są równe, zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b-3 =2 \\ a=a \\ 2a+c=5\\ b+c =4 \end{cases}}\)

Obliczyć to wszystko na pewno dasz radę.


6.
\(\displaystyle{ W(x) = x^8-1 =(x^4-1)(x^4+1)=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)}\)

-- 28 paź 2010, o 20:25 --

4.
(proszę mnie poprawić, jeśli mój tok rozumowania jest zły)
\(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=2009^3}\)
Jeśli operujemy na zbiorze liczb całkowitych, to lewa strona na pewno jest podzielna przez 6 (dla x różnych od 0,-1 i -2, bo wtedy otrzymujemy sprzeczność). Aby prawa strona była podzielna przez 6, w rozkładzie liczby musi wystąpić 2 i 3, które jednak nie występuje, zatem równanie nie ma pierwiastków całkowitych.

10.
\(\displaystyle{ w(x)=x^3 + 2x +5}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ p(x)= w(x+1)-w(x)= (x+1)^3+2(x+1_+5-x^3-2x-5 = 3x^2+3x+3 = 3(x^2+x+1)}\)

Trójmian w nawiasie ma \(\displaystyle{ \Delta < 0}\), zatem nie ma pierwiastków.