dla jakich m pierwiastki równania tworzą ciąg arytmetyczny?

[fnt]

witam,

mam takie zadanie:

dla jakich wartości parametru m pierwiastki równiania \(\displaystyle{ x^{4}+(3m-2)x^{2}+m^{2}=0}\) tworzą ciąg arytmetyczny?

i nie wiem jak się do niego zabrać. podstawić pomocniczą t za \(\displaystyle{ x^{2}}\) czy nie? wykorzystywac wzory vietea na równanie stopnia czwartego? inaczej?

z góry dziękują za jakąkolwiek podpowiedź.

[Inkwizytor]

Twój pomysł z podstawieniem pomocniczej niewiadomej i wzorami Viete'a dobry. Potrzebne tylko uzasadnienie. Otóż zgodnie z definicją ciągu jako takiego musimy mieć przynajmniej 3 elementy.

a) W tym przypadku 3 miejsca zerowe są możliwe tylko gdy \(\displaystyle{ x_1=0}\) (podwójne) oraz \(\displaystyle{ x_2=-x_3}\)
Zastanów się czy to możliwe? Jeśli nie to dlaczego? a jesli tak to dla jakiego m?

b) pozostaje kwestia 4 elementów tworzących ciąg. Muszą spełniać oczywiście \(\displaystyle{ x_1=-x_4}\) oraz \(\displaystyle{ x_2=-x_3}\). Zatem skorzystasz z pomocniczej niewiadomej i musisz mieć \(\displaystyle{ t_1}\) i \(\displaystyle{ t_2}\) dodatnie. Ale to nie wszystko:
Ciekawostka: z powyższego wynika że sa symetrycznie położone względem zera. 2 są dodatnie a
2 ujemne. Zaznacz te miejsca zerowe na osi liczbowej. Skoro mają być w równych odległościach to, łatwo zauważyć że:
niech odległość pomiędzy dodatnimi miejscami zerowymi wynosi \(\displaystyle{ 2a}\), to odległość mniejszego dodatniego miejsca zerowego od ZERA wynosi \(\displaystyle{ a}\). Zatem mozna łatwo stwierdzić że elementy te tworzą ciąg postaci: \(\displaystyle{ -3a, -a, a, 3a}\)
Reszta to pikuś.

W zasadzie wykorzystując ostatnią informację można to zadanie zrobić bez podstawiania t