Równanie wielomianowe

[bbravop]

"Rozwiąż równanie"

\(\displaystyle{ x^{4}+4x^{3}-7x^{2}-13x-6=0}\)

Potrzebuje wskazówki jak to ruszyć (oby wystarczyło )

[Mariusz M]

"Rozwiąż równanie"

\(\displaystyle{ x^{4}+4x^{3}-7x^{2}-13x-6=0}\)

Potrzebuje wskazówki jak to ruszyć (oby wystarczyło )

\(\displaystyle{ x^{4}+4x^{3}-7x^{2}-13x-6=0\\
x^{4}+4x^{3}=7x^{2}+13x+6\\
x^{4}+4x^{3}+4x^{2}=11x^{2}+13x+6\\
\left( x^{2}+2x\right)^{2}=11x^{2}+13x+6\\
\left( x^{2}+2x+ \frac{y}{2} \right)^{2}=\left( y+11\right)x^{2}+\left( 2y+13\right)x+ \frac{y^{2}}{4}+6\\
\left( 2y+13\right)^{2}=\left( y^{2}+24\right)\left( y+11\right)\\
4y^{2}+52y+169=y^{3}+11y^{2}+24y+264\\
y^{3}+7y^{2}-28y+95=0}\)

Powodzenia w znalezieniu pierwiastka równania trzeciego stopnia

Zacznij od podstawienia

\(\displaystyle{ y=u+v- \frac{7}{3}}\)


Ja znam dwa pomysły na równanie czwartego stopnia
Jeden z nich polega na rozkładzie równania czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów
a drugi polega na sprowadzeniu równania czwartego stopnia do postaci
wzorów Viete'a równania trzeciego stopnia

Rozkład równania czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
można uzyskać za pomocą wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
albo wymnażając dwa trójmiany kwadratowe w postaci ogólnej i porównując współczynniki

Równanie czwartego stopnia można przekształcić do postaci wzorów Viete'a
równania trzeciego stopnia odpowiednimi podstawieniami

Metoda Ferrariego

Przenosisz trójmian kwadratowy na drugą stronę
Lewą stronę równania uzupełniasz do kwadratu
dodając stronami odpowiedni wyraz zgodnie ze
wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy
Aby prawa strona była kwadratem jej wyróżnik musi być równy zero
Aby obliczyć wyróżnik prawej strony równania wprowadzasz nową niewiadomą
tak aby lewa strona nadal była kwadratem
Po przyrównaniu wyróżnika prawej strony równania do zera otrzymujesz
równanie trzeciego stopnia względem wprowadzonej niewiadomej
Znajdujesz pierwiastek równania trzeciego stopnia (wystarczy jeden)
i wstawiasz go do równania czwartego stopnia
Teraz gdy obie strony są kwadratami korzystasz ze wzoru skróconego mnożenia
na różnicę kwadratów i otrzymujesz iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

Metoda Descartesa-Eulera
(tak nazywam za rosyjską wikipedią)

Do równania czwartego stopnia stosujesz podstawienie

\(\displaystyle{ a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}\)

\(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)

Po tym podstawieniu otrzymujesz równanie

\(\displaystyle{ y^{4}+py^{2}+qy+r=0\\
16y^{4}+16py^{2}+16qy+16r=0}\)

Do tego równania stosujesz kolejne podstawienie

\(\displaystyle{ 2y=u+v+w}\)

Po tym podstawieniu otrzymujesz wzory Viete'a równania trzeciego stopnia
którego pierwiastkami są

\(\displaystyle{ u^{2} \text{ oraz } v^{2} \text{ oraz } w^{2}}\)

[bbravop231]

Jak właściwe została wprowadzona niewiadoma y tak by lewa strona pozostała kwadratem:
\(\displaystyle{ (x^{2}+2x+ \frac{y}{2})^{2}=(y+11)x^{2}+(2y+13)x+\frac{y^{2}}{4}+6}\)

Mógłbyś to rozpisać ?

[Mariusz M]

Jak właściwe została wprowadzona niewiadoma y tak by lewa strona pozostała kwadratem:
\(\displaystyle{ (x^{2}+2x+ \frac{y}{2})^{2}=(y+11)x^{2}+(2y+13)x+\frac{y^{2}}{4}+6}\)

Mógłbyś to rozpisać ?

Aby obliczyć wyróżnik prawej strony równania musimy wprowadzić nową niewiadomą
tak aby lewa strona równania nadal była kwadratem

Aby lewa strona nadal była kwadratem musisz dodać stronami odpowiednie wyrazy
zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy

\(\displaystyle{ (x^{2}+2x)^{2}+y\left( x^{2}+2x\right)+ \frac{y^{2}}{4} =11x^{2}+13x+6+y\left( x^{2}+2x\right)+ \frac{y^{2}}{4}\\
(x^{2}+2x+ \frac{y}{2} )^{2}=11x^{2}+13x+6+yx^{2}+2yx+ \frac{y^{2}}{4} \\
(x^{2}+2x+ \frac{y}{2} )^{2}=\left( y+11\right)x^{2}+\left( 2y+13\right)x+ \frac{y^2}{4}+6}\)

Pierwiastek równania trzeciego stopnia jest wyrażony w dość skomplikowany sposób
co skomplikuje także obliczenie pierwiastków równania czwartego stopnia


Jeżeli chcesz równanie \(\displaystyle{ x^{4}+4x^{3}-7x^{2}-13x-6=0}\)
rozwiązać tą drugą metodą to powinieneś rozwiązać równanie

\(\displaystyle{ t^{3}-26t^{2}+69t-81=0}\)

z tym że teraz musisz znaleźć wszystkie trzy pierwiastki
równania trzeciego stopnia