W podręczniku pod tematem dotyczącym wzorów Viete'a pojawiły się takie dwa zadania:
1) Dla jakich a i b liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^4+bx^3+2x^2+ax+1}\)?
2) Wyznacz współczynniki a, b, c wielomianu \(\displaystyle{ x^5 - 10x^4 +ax^3 +bx^2 +cx-32}\), wiedząc, że wszystkie jego pierwiastki są liczbami dodatnimi.
Czy mamy prawo rozwiązywać te zadania w oparciu o wzory Viete'a?
W pierwszym zadaniu nie jest powiedziane, że istnieją cztery pierwiastki rzeczywiste danego wielomianu i jeśli zastosujemy wzory Viete'a, to mamy kłopot, bo możliwy jest jeszcze przypadek, gdybyśmy przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ (x+1)^2}\) otrzymali iloraz będący funkcją kwadratową o wyróżniku ujemnym.
Podobnie w drugim zadaniu - nie ma przecież w treści żadnego założenia, że istnieje pięć pierwiastków. Natomiast z tyłu książki rozwiązanie rozpoczyna się zdaniem "Niech liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5}\) będą pierwiastkami danego wielomianu."
Wzory Viete'a - zastosowanie
Wzory Viete'a - zastosowanie
tranto pisze: Czy mamy prawo rozwiązywać te zadania w oparciu o wzory Viete'a?
piasek101 pisze:1) wyznacz (a) i (b) jak chcesz, a potem sprawdź czy zajdzie co trzeba (dane tak dobierają, że najczęściej zachodzi).
Pytam, czy zasadne jest tutaj użycie wzorów Viete'a? W przypadku ogólnym tego typu zadania mogą przecież nie istnieć cztery pierwiastki (pomimo istnienia dwóch, które są równe), i wtedy korzystanie ze wzorów Viete'a nie ma żadnego sensu?
(Natomiast to samo zadanie można rozwiązać za pomocą schematu Hornera, ale nie w tym rzecz.)
-
- Użytkownik
- Posty: 23497
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Wzory Viete'a - zastosowanie
Jak już się bierzemy za cytaty.
Wzory Viete'a przecież się łapią w tę podpowiedź.to przecież piasek101 pisze:1) wyznacz (a) i (b) jak chcesz ...