Wyznaczyć największą i najmniejszą wartośc funkcji

[myszka666]

Do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)= x^{3}-3x^{2}+px+k}\) nalezy punkt \(\displaystyle{ A=(2,4)}\). Styczna do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ A}\) ma współczynnik kierunkowy 3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) w przedziale \(\displaystyle{ <-1,4>}\).

[lukasz1804]

Na podstawie wartości współczynnika kierunkowego stycznej i twierdzenia o stycznej do wykresu funkcji mamy \(\displaystyle{ f'(2)=3}\), skąd można wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ p}\).
Wiedząc teraz, że \(\displaystyle{ f(2)=4}\) znaleźć można też wartość \(\displaystyle{ k}\). Tym samym otrzymamy wzór wielomianu \(\displaystyle{ f}\).
Warto teraz zauważyć, że wielomian \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ściśle rosnącą, bowiem \(\displaystyle{ f'(x)\ge 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) i oczywiście \(\displaystyle{ f}\) nie jest funkcją stałą.
Zatem wartość najmniejsza to \(\displaystyle{ f(-1)}\), a największa to \(\displaystyle{ f(4)}\).